Géometrie Globale des Systèmes Hamiltoniens Complètement Intégrables et Variables Action-Angle avec Singularités

Résumé

Toutes les structures considérées dans ce travail sont de classe C ^∞. Précisons tout d’abord la notion de complète intégrabilité utilisée ici. Rappelons qu’un système hamiltonien (M ^{2 n}, ω, H) est dit complètement intégrable au sens d’Arnold-Liouville s’il existe un n-uple F = (f ¹,..., f ⁿ)d’intégrales premières en involution dont les différentielles sont générique-ment indépendantes. Le théorème d’Arnold-Liouville affirme alors que les fibres régulières, compactes et connexes, de F, sont des tores Lagrangiens, et qu’au voisinage de chacun d’eux il existe un système de coordonnées canoniques (q ¹,...,q ⁿ, θ ¹,..., θ ⁿ),dites coordonnées action-angle, où les coordonnées action (q ¹,..., q ⁿ) sont à valeurs dans un ouvert de ℝ ⁿ et les coordonnées angle (θ ¹,..., θ ⁿ) à valeurs dans le tore T ⁿ,de manière que f ¹,..., f ⁿ ne sont fonctions que des variables action. Il en résulte en particulier que le flot du champ hamiltonien X _H est quasi-périodique sur ces tores Lagrangiens.