Stetige Zufallsgrössen

Überblick

Eine Zufallsgrösse X heisst stetig, wenn sich ihre Verteilungsfunktion

$$ F(x) = P\left( {X \leqslant x} \right) $$

als Integral einer andern Funktion f(x) schreiben lässt:

$$ F(x) = \int_{{ - \infty }}^z {f(t)dt} $$

Dabei muss ƒ: ℝ→ℝ folgende Bedingungen erfüllen: 1) f ist (stückweise) stetig, 2) f(x) ≥ 0 für alle x, 3)

$$ \int_{{ - \infty }}^{\infty } {f(t)dt = 1} $$

Diese Funktion f heisst die Dichtefunktion von X. Dann lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X einen Wert in einem Intervall [a, b] annimmt, als Integral der Funktion f(x) schreiben:

$$ P\left( {a \leqslant X \leqslant b} \right) = \int_a^b {f(x)dx} $$

Es ist aber zu beachten, dass f(x) nicht etwa die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass X den Wert x annimmt. Vielmehr ist stets P(X = x) = 0.