Zahlendarstellung im Computer

Zusammenfassung

Um ein grundlegendes Verständnis für die Herausforderungen zu entwickeln, die bei der Entwicklung numerischer Algorithmen auftreten, ist es essenziell zu wissen, wie Zahlen innerhalb eines Computers dargestellt werden. Das vorliegende Kapitel gibt eine Einführung in unterschiedliche Zahlendarstellungen, insbesondere in das Binärsystem, sowie in die Repräsentation von Dezimalzahlen.

Übungsaufgaben

Aufgabe 1.1

(Umrechnung von Zahlendarstellungen)

• a) Schreiben Sie die Binärzahl 101010 als Dezimalzahl.

• b) Schreiben Sie die Hexadezimalzahl $\text {A}4\text {E}2$ als Dezimalzahl.

• c) Schreiben Sie die Dezimalzahl 698 als Oktalzahl.

• d) Schreiben Sie die Hexadezimalzahl $54\text {A}7$ als Binärzahl und als Oktalzahl.

• e) Welcher arithmetischen Operation entspricht im b-adischen Zahlensystem das Verschieben der Ziffern einer Zahl um eine Stelle nach links, also

  $$ (z_{n-1} z_{n-2} \dotsc z_1 z_0)_b \mapsto (z_{n-1} z_{n-2} \dotsc z_1 z_0\, 0)_b? $$

  Welcher Operation entspricht die Verschiebung um eine Stelle nach rechts?

Aufgabe 1.2

( b -Komplementdarstellung)

• a) Schreiben Sie die Dezimalzahl $-34$ in Zweierkomplementdarstellung mit $n=8$ und $n=16$ Ziffern.

• b) Gegeben sei eine Zahl $(z_{n-1} z_{n-2} \dotsc z_1 z_0)_{K_2}$ in Zweierkomplementdarstellung mit n Ziffern. Wie sieht dieselbe Zahl aus, wenn $n+1$ Ziffern für das Zweierkomplement zur Verfügung stehen? Unterscheiden Sie zwischen positiven und negativen Zahlen und beweisen Sie Ihre Antwort.

• c) Schreiben Sie die Dezimalzahl $-34$ in Zehnerkomplementdarstellung mit $n=3$ Ziffern.

Aufgabe 1.3

(Festkommazahlen) Ein einfacher Computer stellt reelle Zahlen im Festkommaformat mit einem Byte (das sind 8 Bits) dar. Dabei werden ein Vorzeichenbit, vier Bits vor dem Komma und drei Bits hinter dem Komma verwendet. Somit haben Zahlen in diesem Computer die Form

$$ z=\pm \sum _{i=1}^7 d_i \cdot 2^{i-4}. $$

• a) Welche Darstellung haben die Zahlen 7.25 und $-5{.}625$?

• b) Wie viele verschiedene Zahlen k"onnen in obigem Format dargestellt werden?

• c) Geben Sie die größte und die kleinste darstellbare positive Zahl $z_{\text {max}}$ und $z_{\text {min}}$ an.

• d) Nicht darstellbare Zahlen x im Bereich $[z_{\text {min}},z_{\text {max}}]$ werden auf die nächste darstellbare Zahl z gerundet. Dabei tritt ein (absoluter) Rundungsfehler $e_\text {abs} \mathrel {\mathrel {\mathop :}=}|x-z|$ auf. Relativ zu |x| ist dieser Fehler als $e_\text {rel}\mathrel {\mathrel {\mathop :}=}|x-z|/|x|$ definiert. Geben Sie den absoluten und den relativen Rundungsfehler bei der Darstellung der Zahl $x=1/3$ an.

• e) Bestimmen Sie den maximalen absoluten und relativen Rundungsfehler für reelle Zahlen im Bereich $[z_{\text {min}},z_{\text {max}}]$.

Aufgabe 1.4

(Gleitkommazahlen) Wir betrachten nun einen Computer mit Gleitkommaarithmetik, der einen deutlich geringeren maximalen Rundungsfehler aufweisen soll. Gleitkommazahlen haben die Form

$$ z = \pm m \cdot b^{\pm e} $$

mit Mantisse m, Exponent e und Basis b. Die durch führende Nullen entstehenden Mehrdeutigkeiten sind unerwünscht, weshalb wir uns auf die normalisierte Darstellung

$$ m = m_1.m_2m_3\ldots m_t \quad \text {mit}\quad m_1\ge 1 $$

einigen. Nur für $z=0$ erlauben wir, dass alle Ziffern $m_i=0$ sind. Wir stellen nun die Mantisse in der Binärdarstellung $b=2$ dar. Außerdem verwenden wir $t=3$ Ziffern für die Mantisse. Damit ist unsere Computer-Gleitkommadarstellung gegeben durch

$$ z = \pm m_1. m_2 m_3 \cdot 2^e, $$

wobei $m_1=1$ und $m_2$ sowie $m_3$ entweder 0 oder 1 sind. Außerdem verwenden wir als Spezialfall

$$ \pm 0 = \pm 0. 00 \cdot 2^0. $$

Als Exponenten erlauben wir nur $e=-1$, $e=0$ und $e=1$ (schreiben Sie dafür nur $2^{-1}$, $2^{0}$ und $2^1$).

• a) Geben Sie alle darstellbaren, nichtnegativen Gleitkommazahlen an.

• b) Sie werden feststellen, dass die Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Gleitkommazahlen stark variieren. Markieren sie alle darstellbaren Zahlen auf einem Zahlenstrahl.

• c) Zur Darstellung einer beliebigen reellen Zahl x verwenden wir wieder die nächstgelegene Gleitkommazahl. Geben Sie den absoluten und den relativen Rundungsfehler bei der Darstellung der Zahlen $x=8/5$ und $x=3/16$ an.