Wellen

Zusammenfassung

In Kapitel 11 haben wir uns mit Schwingungsbewegungen und sich periodisch bewegenden Körpern beschäftigt. In diesem Kapitel werden wir darauf aufbauen und die Mechanik von Wellen untersuchen, da Wellen ebenfalls periodische Bewegungen sind. Sie breiten sich in verschiedenen Medien aus und können sich sogar im leeren Raum ohne ein Trägermedium bewegen. Beispiele dafür sind die Meereswellen, Musik, Erdbeben und das Sonnenlicht. Wellen transportieren Energie und Impuls, sie transportieren jedoch keine Materie.

Eine Boje wird von einem Schiff der US-amerikanischen Nationalen Meeres- und Atmosphärenbehörde (NOAA) ausgesetzt, die zu einem Tsunami-Warnsystem gehört. Tsunami-Detektoren wie die gezeigte Boje sollen Katastrophen wie die nach dem Seebeben im Indischen Ozean im Dezember 2004 in Zukunft verhindern, indem sie rechtzeitig vor dem Auflaufen dieser Riesenwellen an der Küste warnen. An den Küsten der Anrainerstaaten waren 2004 Hunderttausende Menschen ums Leben gekommen, weil sie von dem herannahenden Tsunami nichts ahnten und sich deshalb nicht rechtzeitig in Sicherheit bringen konnten. (Mit freundlicher Genehmigung der NOAA und der Harbor Branch Oceanographic Institution.)

? Warum bewegt sich ein Tsunami wesentlich schneller als eine gewöhnliche Welle an der Oberfläche des Meeres? (Siehe Beispiel 12.2.)

Appendices

Im Kontext: Die Physik der Musikinstrumente

Musikinstrumente sind eine der ersten intellektuellen Errungenschaften des Homo sapiens. Schon seit Beginn der Jungsteinzeit fertigte der Mensch Musikinstrumente${}^{1,2}$, die bei sakralen Prozessen, aber auch zur Kommunikation (z. B. bei der Jagd) genutzt wurden.

Im Prinzip haben alle Musikinstrumente die gleiche Struktur${}^{3,4,5}$: Eine Anregungsquelle aktiviert über Filter eine Abstrahleinrichtung. Die Quelle kann periodische, zeitlich statistische oder auch Einzelimpulse erzeugen. Diese Signale durchlaufen danach eine Reihe von Resonanzfiltern und werden anschließend durch eine spezielle Vorrichtung (z. B. einen Resonanzboden oder einen Trichter bei Blasinstrumenten) in den Raum abgestrahlt. Letztere bewirkt eine effektive Kopplung des Instruments an den umgebenden Raum, wie dies bei allen Typen von effektiver Wellenabstrahlung – Radio-, Licht- und Wasserwellen – notwendig ist. Wie bei allen Wellenphänomenen ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit das Produkt von Wellenlänge und Frequenz.

Periodische Signale bestehen per se aus einem Frequenzgemisch, das aus einer Grundfrequenz und ganzzahligen Vielfachen dieser Frequenz, den sogenannten Obertönen oder Harmonischen besteht. Wenn ein solches Gemisch durch einen Resonator geschickt wird, werden die Frequenzen selektiert, die den Resonatorfrequenzen entsprechen. Das ist in ungünstigen Fällen keine oder nur eine einzige (geringe Intensität; Abbildung 12.61: Pedalton), in günstigen Fällen eine Vielzahl von Harmonischen (hohe Intensität; Abbildung 12.61: 2. und 3. Naturton).

Abb. 12.61

Resonanzen einer Posaune (schwarz) und eines einseitig geschlossenen Zylinders (rot). f ist die Grundfrequenz der Anregung, F die der Resonanzen. (© Adalbert Ding)

Diese Prinzipien sollen am Beispiel der Posaune und der menschlichen Stimme erläutert werden. Bei einer Posaune presst der Spieler die geschlossenen Lippen an ein kesselförmiges Mundstück. Durch Erhöhung des Drucks im Mund öffnen sich die Lippen für kurze Zeit und schließen dann wieder. Dies wiederholt sich periodisch, wobei die Periode und Öffnungszeit vom Munddruck und der Lippenspannung abhängt. Ein geübter Spieler kann durch Variation beider Parameter sowohl die Tonhöhe als auch die Klangqualität unabhängig voneinander beeinflussen. Der entstehende Pulszug enthält neben der Grundfrequenz auch Obertöne; kürzere Öffnungszeiten erzeugen mehr Obertöne, längere nur wenige. Dieser Pulszug regt das Resonanzsystem der Posaune an, das aus einem langen zylindrischen Rohr besteht, das aus Gründen der Platzersparnis in Scheifen aufgewickelt ist. Durch Ausziehen eines Rohrstücks, dem sogenannten Zug, wird die Länge des Rohrs und damit die Frequenz variiert. Zur besseren Energieübertragung in den Außenraum dient der exponentiell sich aufweitende Trichter. Wie bei jeder Energieabstrahlung werden durch die damit verbundene Dämpfung die Resonanzen verbreitert und zu höheren Frequenzen verschoben.

Die Eigenresonanzen entsprechen im Idealfall denen eines an einem Ende geschlossenen Zylinders der Länge L mit den Wellenlängen $\lambda=4\,L/n$ bzw. den Frequenzen $F=nc/4L$, $n=1,3,5,7,{\ldots}$.

Um die Anregungswellenform an den Resonator anzupassen, muss deren Grundfrequenz f mit einer der höheren Harmonischen des Resonators übereinstimmen (Abbildung 12.61). Nur dann überlappen die höheren Harmonischen der Anregungsfunktion mit den verbreiterten und verschobenen Resonanzen des Posaunenkörpers. Fällt die Grundfrequenz von Anregungsfunktion und Resonatorfunktion zusammen, so ist der Überlapp der höheren Resonanzen schlecht. Dieser Pedalton ist leise und schwierig zu spielen.

Im Grunde genommen funktioniert die menschliche Stimme nach demselben Prinzip: Die Pulserzeugung geschieht durch die sich periodisch öffnenden und schließenden Stimmlippen (Glottis). Rachenraum, Mund- und Nasenhöhle sind für die Resonanzen verantwortlich. Im Gegensatz zu den festen und relativ engen Rohrresonanzen der Blasinstrumente sind diese Resonanzen – man spricht hier von Formanten – so breit, dass sie jeweils für mehrere Obertöne transparent sind (Abbildung 12.62).

Abb. 12.62

Formanten eines einseitig geschlossenen Zylinders und der menschlichen Stimme für die Vokale A und E. Die Anregungsfunktion der Glottis ist oben dargestellt (schematisch). (©Adalbert Ding)

Sie entsprechen den ersten fünf Resonanzen eines einseitig geschlossenen Rohrs von etwa der Länge des Mund-Rachen-Raums. Sie können allerdings durch Muskelspannung gegeneinander verschoben werden. Die Lage der Formanten, insbesondere der ersten beiden, bestimmt den Vokal, der von der menschlichen Stimme erzeugt wird. Konsonanten werden durch Einzelpuls- bzw. Rauschanregung der Resonanzen erzeugt. Die Grundfrequenz der Anregung, gegeben durch die von der Glottis erzeugte Pulsfolge, bestimmt die Tonhöhe des gesprochenen bzw. gesungenen Worts. Eine spezielle trainierbare Resonanz, der Sängerformant, erhöht die Abstrahlung bei etwa 3 kHz, sodass sich ausgebildete Sänger von einem lauten Orchester deutlich abheben. Die Abstrahlung in den freien Raum wird durch die Mundöffnung bewirkt und kann durch einen aufgesetzten Trichter (Megaphon) verstärkt werden.

• 1. Albrecht, G., Holdermann, C. S., Kerig, T., Lechterbeck, J., Serangeli, J., „Flöten“ aus Bärenknochen – Die frühesten Musikinstrumente?“, Archäologisches Korrespondenzblatt, 1998, Nr. 28, 1–19.

• 2. Conard, N. J., Malina, M., Münzel, S. C., „New flutes document the earliest musical tradition in southwestern Germany“, Nature 460, 2009, 737–740.

• 3. Benade, A. H., Fundamentals of Musical Acoustics, Oxford University Press, Oxford, 1978.

• 4. Fletcher, N. H., Rossing T., The Physics of Musical Instruments, Springer, New York, 2005.

• 5. Winkler, K., Die Physik der Musikinstrumente, Spektrum Akademischer Verlag, Berlin/Heidelberg, 1998.

Prof. Dr.-Ing. Adalbert M. Ding erlangte sein Diplom in Physik an der TU Berlin und promovierte dort in Chemie. Er war Gruppenleiter im Bereich Strahlenchemie des Hahn-Meitner-Instituts in Berlin und Akademischer Direktor am Optischen Institut der TU. Seine Forschungsaktivitäten lagen auf dem Gebiet der Laser- und Ionenstrahlspektroskopie kleiner Teilchen. Zurzeit arbeitet er auf dem Gebiet der musikalischen Akustik sowie der Solar- und Kometenastronomie.

Aufgaben

Verwenden Sie, wenn nicht anders angegeben, 343 m/s als Wert für die Schallgeschwindigkeit in Luft. Den Wert für die Hörschwelle, der in Aufgaben zum Schallpegel verwendet wird, setzt man nach Konvention mit exakt $\boldsymbol{1\cdot 10^{-12}\,\text{W/m}^{2}}$ an. Dabei geht man von einer beliebigen Anzahl signifikanter Stellen aus. Die Anzahl der signifikanten Stellen in den Antworten hängt somit nur von den gegebenen Zahlenwerten ab.

1.1 Verständnisaufgaben

1.1.1 12.1 • 

Eine fortschreitende sinusförmige Welle auf einem gespannten Seil läuft an einem Beobachtungspunkt vorbei. An diesem Punkt beträgt die Zeit zwischen aufeinanderfolgenden Wellenzügen 0,20 s. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? a) Die Wellenlänge beträgt 5,0 m. b) Die Frequenz beträgt 5,0 Hz. c) Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist 5,0 m/s. d) Die Wellenlänge beträgt 0,20 m. e) Es liegen nicht genügend Informationen vor, um eine dieser Angaben zu bestätigen.

1.1.2 12.2 • 

Ein Ende eines sehr leichten, aber reißfesten Fadens ist mit dem Ende eines dickeren und dichteren Seils verbunden, das andere Ende des Fadens ist an einem stabilen Pfosten festgebunden. Sie ziehen am freien Ende des Seils, sodass Faden und Seil gespannt sind. Dann schicken Sie von dort einen Wellenberg durch das Seil. Welche der Aussagen sind richtig, welche falsch? a) Der an der Verbindungsstelle reflektierte Puls ist gegenüber dem einlaufenden Puls invertiert. b) Der über die Verbindungsstelle laufende Puls ist gegenüber dem einlaufenden Puls nicht invertiert. c) Der über die Verbindungsstelle laufende Puls hat eine geringere Amplitude als der einlaufende Puls.

1.1.3 12.3 • 

Die Mikrowellen in einem modernen Mikrowellengerät haben eine Wellenlänge in der Größenordnung von Zentimetern. Erwarten Sie nennenswerte Beugungseffekte, wenn diese Strahlung a) durch eine 1,0 m breite Tür fällt, b) durch den Türspalt mit 5 cm Breite fällt? Erläutern Sie Ihre Antwort.

1.1.4 12.4 • 

Zwei Rechteckpulse bewegen sich auf einer Saite aufeinander zu. Bei t = 0 findet man die Situation wie in Abbildung 12.63. a) Zeichnen Sie die Wellenfunktionen für $t=\text{1{,}0\,s}$, 2,0 s und 3,0 s. b) Wiederholen Sie Teilaufgabe a für den Fall, dass der Puls auf der rechten Seite die entgegengesetzte Auslenkung hat.

Abb. 12.63

Zu Aufgabe 12.4.

1.1.5 12.5 • 

Welche Aussage trifft zu? Stehende Wellen entstehen bei der Überlagerung von zwei Wellen a) mit gleicher Amplitude, gleicher Frequenz und gleicher Ausbreitungsrichtung, b) mit gleicher Amplitude, gleicher Frequenz und entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung, c) mit gleicher Amplitude, etwas anderer Frequenz und gleicher Ausbreitungsrichtung, d) mit gleicher Amplitude, etwas anderer Frequenz und entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung.

1.1.6 12.6 •• 

Abbildung 12.64 zeigt einen Wellenpuls zur Zeit t = 0, der sich nach rechts bewegt. a) Welche Segmente der Saite bewegen sich zu diesem Zeitpunkt nach oben? b) Welche Segmente der Saite bewegen sich nach unten? c) Gibt es irgendein Segment der Saite im Bereich des Pulses, das momentan in Ruhe ist? Beantworten Sie diese Fragen, indem Sie den Puls zu einem etwas späteren und zu einem etwas früheren Zeitpunkt skizzieren, um zu sehen, wie sich die Segmente der Saite bewegen.

Abb. 12.64

Zu Aufgabe 12.6.

1.1.7 12.7 •• 

Die Unterwasserexplosion einer Wasserbombe wird von einem Hubschrauber über der Wasseroberfläche aus beobachtet (Abbildung 12.65). Entlang welchen Wegs (A, B oder C) benötigt der Schall die geringste Zeit bis zum Hubschrauber? Erläutern Sie Ihre Antwort.

Abb. 12.65

Zu Aufgabe 12.7.

1.1.8 12.8 •• 

Wenn man zwei sehr feine Seidentücher übereinanderlegt, kann man ein Muster von hellen und dunklen Linien sehen wie in Abbildung 12.66 . Ein solches sogenanntes Moiré-Muster taucht auch auf, wenn man Fotos aus einem Buch oder einer Zeitung abscannt. Wodurch wird es verursacht, und worin ähnelt es dem Phänomen der Interferenz?

Abb. 12.66

Zu Aufgabe 12.8 (© Chuck Adler, St. Mary’s College of Maryland.)

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

1.2.1 12.9 • 

Es heißt, eine Sängerin könne mit einem entsprechend kräftigen Ton ein leeres Weinglas zerspringen lassen. Dazu müsse der Ton so hoch und so stark sein, dass die Luft im Glas in Resonanz mit der Frequenz ihrer Stimme gerät. Schätzen Sie die Frequenz, mit der man in einem 8,0 cm hohen Weinglas (ohne Stiel) eine stehende Welle erzeugen kann. Um ungefähr wie viele Oktaven liegt dieser Ton oberhalb des Tons c${}^{1}$ ( 262 Hz)? (Hinweis: Eine Erhöhung um eine Oktave entspricht einer Verdoppelung der Frequenz.)

1.2.2 12.10 •• 

Früher wurde der 100-m-Lauf der Leichtathletik mit dem Startschuss aus einer Pistole gestartet; der Starter stand dabei einige Meter vor den Startblöcken auf der Innenseite der Bahn. (Heute wird statt einer Pistole oft nur ein Auslöser gedrückt, der elektronisch die Lautsprecher aktiviert, die hinter jedem einzelnen der Startblöcke stehen. Auf diese Weise vermeidet man, dass einer der Sprinter den Startschuss eher als die anderen hört.) Schätzen Sie den Zeitvorteil, den der Läufer auf der Innenbahn gegenüber dem Läufer auf der äußersten der acht Bahnen hätte, wenn alle Läufer erst dann loslaufen würden, nachdem sie den Startschuss gehört haben.

1.2.3 12.11 •• 

Man nimmt an, dass das Gehirn die Richtung einer Schallquelle feststellt, indem es die Phasendifferenz zwischen den Schallwellen bestimmt, die die beiden Ohrmuscheln erreichen. Eine entfernte Quelle strahlt Schall mit einer Frequenz von 680 Hz ab. Wenn man direkt vor der Schallquelle steht, sollte es keine Phasendifferenz zwischen rechtem und linkem Ohr geben. Schätzen Sie die Phasendifferenz zwischen den Schallwellen, die am linken bzw. am rechten Ohr ankommen, wenn Sie die Schallquelle nicht direkt ansehen, sondern sich um 90${}^{\circ}$drehen.

1.3 Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen

1.3.1 12.12 • 

Berechnen Sie die Geschwindigkeit von Schallwellen in Wasserstoffgas bei $T=\text{300\,K}$. (Benutzen Sie $m_{\mathrm{Mol}}=2{,}00\cdot 10^{-3}\,\text{kg/mol}$ und $\gamma=1{,}4$.)

1.3.2 12.13 • 

Ein 7,00 m langer Saitendraht hat eine Masse von 100 g und wird mit einer Zugkraft von 900 N gespannt. Welche Ausbreitungsgeschwindigkeit hat ein transversaler Wellenpuls auf dieser Saite?

1.3.3 12.14 •• 

a) Berechnen Sie die Ableitung der Schallgeschwindigkeit in Luft nach der absoluten Temperatur und zeigen Sie, dass die Differenziale $\,\mathrm{d}v$ und $\,\mathrm{d}T$ der Beziehung $\,\mathrm{d}v/v=\tfrac{1}{2}\,\,\mathrm{d}T/T$ genügen. b) Berechnen Sie mit diesem Ergebnis die prozentuale Änderung der Schallgeschwindigkeit, wenn sich die Temperatur von 0 auf 27 ${}^{\circ}$C ändert. c) Wie groß ist näherungsweise die Schallgeschwindigkeit bei 27 ${}^{\circ}$C, wenn sie bei 0 ${}^{\circ}$C 331 m/s beträgt? d) Vergleichen Sie diese Näherung mit dem Ergebnis einer exakten Rechnung.

1.4 Die Wellengleichung

1.4.1 12.15 • 

Zeigen Sie explizit, dass die folgenden Funktionen die Wellengleichung $\partial^{2}y/\partial x^{2}=(1/v^{2})\partial^{2}y/\partial t^{2}$ befriedigen: a) $y(x,t)=k(x+v\,t)^{3}$, b) $y(x,t)=A\,\mathrm{e}^{\i k\,(x-v\,t)}$ (mit den Konstanten A und k und $\i=\sqrt{-1}$) und c) $y(x,t)=\ln\left[k\,(x-v\,t)\right]$.

1.5 Harmonische Wellen auf einer Saite

1.5.1 12.16 • 

Die Wellenfunktion einer harmonischen Welle auf einem Seil ist $y(x,t)=(\text{1{,}00\,mm})\,\mathrm{sin\> }\!(\text{62{,}8\,m}^{-1}\,x+\text{314\,s}^{-1}\,t)$. a) In welche Richtung bewegt sich die Welle, und wie groß ist ihre Geschwindigkeit? b) Bestimmen Sie Wellenlänge, Frequenz und Schwingungsperiode dieser Welle. c) Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit eines beliebigen Punkts auf dem Seil?

1.5.2 12.17 •• 

Längs eines gespannten Seils soll mittels transversaler harmonischer Wellen eine gewisse Leistung übertragen werden. Die Wellengeschwindigkeit ist 10 m/s, und die lineare Massendichte des Seils ist 0,010 kg/m. Die Quelle schwingt mit einer Amplitude von 0,50 mm. a) Wie groß ist die längs des Seils transportierte mittlere Leistung, wenn die Frequenz 400 Hz beträgt? b) Man kann die übertragene Leistung erhöhen, indem man die Zugkraft des Seils, die Frequenz der Quelle oder die Amplitude der Wellen vergrößert. Um wie viel müssten diese Größen jeweils zunehmen, um eine Zunahme in der Leistung um einen Faktor 100 zu erreichen, wenn jeweils nur diese eine Größe geändert wird?

1.5.3 12.18 •• 

Auf einer realen Saite dissipiert stets ein Teil der Wellenenergie, während sich die Welle auf der Saite bewegt. Dies lässt sich durch eine Wellenfunktion beschreiben, deren Amplitude $A(x)$ von x abhängt: $y=A(x)\,\mathrm{sin\> }\!(kx-\omega t)$ mit $A(x)=A_{0}\,\,\mathrm{e}^{-bx}$. Geben Sie einen Ausdruck für die durch die Welle übertragene Leistung als Funktion von x (mit $x> 0)$ an.

1.6 Harmonische Schallwellen

1.6.1 12.19 • 

a) Berechnen Sie die Auslenkungsamplitude einer Schallwelle mit einer Frequenz von 500 Hz und einer Druckamplitude an der Schmerzschwelle von 29,0 Pa. b) Die Dichte von Luft beträgt 1,29 kg/m${}^{3}$. Bestimmen Sie die Auslenkungsamplitude von einer Schallwelle mit einer Frequenz von 1,00 kHz und derselben Druckamplitude der Welle in Teilaufgabe a.

1.6.2 12.20 • 

Eine laute Schallwelle mit einer Frequenz von 1,00 kHz hat eine Druckamplitude von $1{,}00\cdot 10^{-4}$ atm ($1\,\text{atm}=1{,}01325\cdot 10^{5}\,\text{N/m}^{2}$). a) Zum Zeitpunkt t = 0 ist der Druck p am Punkt x ₁ maximal. Wie groß ist die Auslenkung an diesem Punkt zur Zeit t = 0? b) Die Dichte von Luft beträgt 1,29 kg/m${}^{3}$. Wie groß ist der Maximalwert der Auslenkung zu einer beliebigen Zeit an einem beliebigen Ort?

1.6.3 12.21 •• 

Wale in den Ozeanen kommunizieren durch Schallübertragung unter Wasser. Ein Wal stößt einen Laut von 50,0 Hz aus, um ein eigensinniges Kalb dazu zu bringen, wieder zum Rudel zurückzukehren. Die Schallgeschwindigkeit in Wasser beträgt etwa 1500 m/s. a) Wie lang braucht der Schall zum 1,20 km entfernten Kalb? b) Wie groß ist die Wellenlänge dieses Tons im Wasser? c) Wenn die Wale dicht an der Wasseroberfläche sind, kann ein Teil der Schallenergie in die Luft gebrochen werden. Welche Frequenz und welche Wellenlänge hat der Schall über Wasser?

1.7 Intensität

1.7.1 12.22 • 

Ein Lautsprecher bei einem Rockkonzert erzeugt $1{,}00\cdot 10^{-2}\,\text{W/m}^{2}$ in 20,0 m Entfernung bei einer Frequenz von 1,00 kHz. Wir nehmen an, der Lautsprecher strahlt die Schallenergie homogen in alle Richtungen ab. a) Wie groß ist die gesamte von dem Lautsprecher abgestrahlte Schallleistung? b) In welcher Entfernung ist die Schallintensität an der Schmerzgrenze von 1,00 W/m${}^{2}$? c) Wie groß ist die Intensität in 30,0 m Entfernung?

1.8 Schallpegel

1.8.1 12.23 • 

Wie groß ist die Intensität einer Schallwelle, wenn der Schallintensitätspegel an einem bestimmten Ort a) $I\!P=\text{10\,dB}$ bzw. b) $I\!P=\text{3{,}0\,dB}$ beträgt? c) Um welchen Anteil muss man die akustische Leistung eines Geräuschs reduzieren, um den Schallpegel von 10 auf 3,0 dB zu reduzieren?

1.8.2 12.24 •• 

Eine kugelförmige Quelle strahlt Schall gleichmäßig in alle Raumrichtungen aus. In einer Entfernung von 10 m ist der Schallintensitätspegel 80 dB. a) Bei welcher Entfernung von der Quelle ist der Schallintensitätspegel 60 dB? b) Welche Leistung strahlt die Quelle ab?

1.8.3 12.25 •• 

Zeigen Sie, dass der Unterschied $\Updelta I\!P$ (in Dezibel) der Schallintensitätspegel, den zwei Personen in unterschiedlicher Entfernung von einer Schallquelle wahrnehmen, stets gleich ist, unabhängig von der Leistung, die die Quelle abstrahlt.

1.8.4 12.26 ••• 

Auf einer Party beträgt an Ihrem Standort der Schallintensitätspegel einer sprechenden Person 72 dB. Nehmen Sie (nicht ganz realistisch) an, dass auf der Party insgesamt 38 Personen außer Ihnen gleichzeitig mit der gleichen Intensität wie die erwähnte Person sprechen und dabei sämtlich gleich weit von Ihnen entfernt sind. Bestimmen Sie den Schallintensitätspegel an Ihrem Standort.

1.9 Doppler-Effekt

1.9.1 12.27 • 

Eine Schallquelle mit einer Frequenz von 200 Hz bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 80 m/s relativ zur ruhenden Luft auf einen ruhenden Beobachter zu. a) Bestimmen Sie die Wellenlänge des Schalls im Bereich zwischen Quelle und Beobachter. b) Geben Sie die Frequenz an, die der Beobachter hört.

1.9.2 12.28 • 

Betrachten Sie die in Aufgabe 12.27 beschriebene Situation im Bezugssystem der Quelle. In diesem Bezugssystem bewegen sich der Beobachter und die Luft mit 80 m/s auf die ruhende Quelle zu. a) Mit welcher Geschwindigkeit relativ zur Quelle breitet sich der Schall im Bereich zwischen der Quelle und dem Beobachter aus? b) Bestimmen Sie die Wellenlänge des Schalls im Bereich zwischen der Quelle und dem Beobachter. c) Bestimmen Sie die Frequenz, die der Beobachter hört.

1.9.3 12.29 • 

Sie beobachten die Landung eines Spaceshuttles auf der Erde. Gegen Ende ihres Flugs bewegt sich die Raumfähre mit Mach 2,50 in einer Höhe von 5000 m. a) Welchen Winkel bildet die Stoßwelle mit der Bahn der Raumfähre? b) In welcher horizontalen Entfernung von Ihnen befindet sich die Raumfähre zu dem Zeitpunkt, wenn Sie die Stoßwelle hören? (Nehmen Sie dazu an, dass die Fähre ihre Richtung und ihre Höhe über dem Boden nicht ändert, während sie direkt über Ihnen fliegt.)

1.9.4 12.30 •• 

Der Neutrinodetektor Super-Kamiokande in Japan besteht aus einem Wassertank in Größe eines 14-stöckigen Gebäudes. Wenn ein Neutrino mit einem Elektron des Wassers zusammenstößt, überträgt es den größten Teil seiner Energie auf das Elektron, das dann mit einer Geschwindigkeit durch das Wasser wegfliegt, die nur wenig unterhalb der Vakuumlichtgeschwindigkeit c und über der Lichtgeschwindigkeit in Wasser liegt. Es entsteht eine Stoßwelle (die Čerenkov-Strahlung), die man nachweisen kann; damit ist indirekt auch das Neutrino nachgewiesen. Wie groß ist die Lichtgeschwindigkeit in Wasser, wenn der maximale Winkel des Čerenkov-Stoßwellenkegels $48{,}75^{\circ}$ ist?

1.9.5 12.31 •• 

Sie haben den Auftrag, die Radargeräte des Polizeipräsidiums zu kalibrieren. Eines der Geräte strahlt Mikrowellen mit einer Frequenz von 2,00 GHz aus. Während Ihrer Versuche werden die Wellen von einem Auto reflektiert, das sich direkt von der ruhenden Strahlungsquelle weg bewegt. Sie registrieren eine Frequenzdifferenz zwischen den ausgestrahlten und den empfangenen Radarwellen von 293 Hz. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Autos.

1.9.6 12.32 •• 

Eine Schallquelle der Frequenz $\nu_{\mathrm{Q}}$ bewegt sich mit der Geschwindigkeit $v_{\mathrm{Q}}$ relativ zur ruhenden Luft auf einen Empfänger zu, der sich mit der Geschwindigkeit $v_{\mathrm{E}}$ relativ zur ruhenden Luft von der Quelle weg bewegt. a) Geben Sie einen Ausdruck für die empfangene Frequenz $\nu_{\mathrm{E}}^{\prime}$ an. b) Da $v_{\mathrm{Q}}$ und $v_{\mathrm{E}}$ im Vergleich zu v klein sind, können Sie die Näherung $(1-x)^{-1}\approx 1+x$ anwenden. Zeigen Sie, dass die empfangene Frequenz näherungsweise durch

$$\nu_{\mathrm{E}}\approx\left(1+\frac{v_{\mathrm{Q}}-v_{\mathrm{E}}}{v}\right)\nu_{\mathrm{{{Q}}}}=\left(1+\frac{v_{\mathrm{rel}}}{v}\right)\nu_{\mathrm{Q}}$$

gegeben ist ($v_{\mathrm{rel}}=v_{\mathrm{Q}}-v_{\mathrm{E}}$ ist dabei die relative Geschwindigkeit der Annäherung von Quelle und Empfänger).

1.9.7 12.33 •• 

Ein Auto nähert sich einer reflektierenden Wand. Ein ruhender Beobachter hinter dem Auto hört einen Ton der Frequenz von 745 Hz von der Autohupe und einen Ton der Frequenz 863 Hz von der Wand. a) Wie schnell fährt das Auto? b) Welche Frequenz hat die Autohupe? c) Welche Frequenz hört der Autofahrer in der Welle, die von der Wand reflektiert wird?

1.9.8 12.34 ••• 

Das Hubble-Weltraumteleskop wurde dazu benutzt, um die Existenz von Planeten nachzuweisen, die um entfernte Sterne kreisen. Wenn ein Stern von einem solchen Planeten umkreist wird, beginnt er mit der Periode der Umlaufbahn zu „wobbeln“ (zu taumeln). Aufgrund dessen ist die empfangene Lichtfrequenz periodisch nach oben und unten Doppler-verschoben. Schätzen Sie die maximale und die minimale Wellenlänge von Licht, das die Sonne mit 500 nm abstrahlt und das aufgrund der Bewegung der Sonne infolge der Einwirkung des Planeten Jupiter Doppler-verschoben ist.

1.10 Reflexion und Transmission

1.10.1 12.35 • 

Ein 3,00 m langer Faden mit einer Masse von 25,0 g wird mit einer 4,00 m langen Schnur von 75,0 g verbunden. Beide Stücke zusammen werden mit einer Kraft von 100 N gespannt, dann wird ein Wellenpuls durch den Faden gesandt. Bestimmen Sie den Reflexions- und den Transmissionskoeffizienten am Verbindungspunkt.

1.10.2 12.36 •• 

Zeigen Sie, dass gilt $1=R^{2}+(v_{1}/v_{2})\,T^{2}$ (Gleichung 12.45), indem Sie die Ausdrücke für R bzw. für T dort einsetzen.

1.11 Überlagerung und Interferenz

1.11.1 12.37 • 

Zwei Lautsprecher schwingen in Phase mit derselben Amplitude A. Sie stehen hintereinander in einem räumlichen Abstand von $\lambda/3$ und strahlen Schall in dieselbe Richtung ab. Ein Punkt P liegt vor den beiden Lautsprechern auf der Linie, die durch deren Mittelpunkte geht. Die Schallamplitude in P aufgrund jedes der beiden Lautsprecher ist A. Drücken Sie die Amplitude der in P durch Überlagerung resultierenden Welle mithilfe von A aus.

1.11.2 12.38 • 

Zwei etwas voneinander entfernte Lautsprecher emittieren Schallwellen derselben Frequenz. An einem Punkt $P^{\,\prime}$ beträgt die Intensität aufgrund des Schalls aus jedem der beiden Lautsprecher I ₀. Der Abstand zwischen $P^{\,\prime}$ und einem der Lautsprecher ist um eine Wellenlänge größer als der zwischen $P^{\,\prime}$ und dem anderen Lautsprecher. Wie groß ist die Intensität bei $P^{\,\prime}$, wenn die Lautsprechermembranen a) kohärent und in Phase schwingen, b) inkohärent schwingen bzw. c) kohärent und außer Phase schwingen?

1.11.3 12.39 •• 

Zwei Punktquellen Q${}_{1}$ und Q${}_{2}$ im Abstand d voneinander sind in Phase. Entlang einer Linie parallel zur Verbindungslinie zwischen den Quellen und in einer großen Entfernung r von den Quellen findet man ein Interferenzmuster (Abbildung 12.67). a) Zeigen Sie, dass sich der Gangunterschied $\Updelta s$ von den beiden Quellen bis zu einem Punkt auf der Linie bei einem kleinen Winkel θ durch $\Updelta s\approx d\,\mathrm{sin\> }\theta$ annähern lässt. (Hinweis: Nehmen Sie $r\gg d$ an, sodass die Linien von den beiden Quellen zum Punkt P näherungsweise parallel sind; Abbildung 12.67b.) b) Zeigen Sie, dass die beiden Wellen in P für $\Updelta s=m\,\lambda$ konstruktiv interferieren (mit $m=0,\,1,\,2,\,\ldots$). Mit anderen Worten: Zeigen Sie, dass es in P für $\Updelta s=m\,\lambda$ mit $m=0,\,1,\,2,\,\ldots$ ein Interferenzmaximum gibt. c) Zeigen Sie, dass sich der Abstand y _n vom zentralen Maximum (bei y = 0) zum n-ten Interferenzmaximum näherungsweise durch $y_{n}=r\,\mathrm{tan\> }\theta_{n}$ angeben lässt (mit $d\,\mathrm{sin\> }\theta_{n}=m\,\lambda$).

Abb. 12.67

Zu Aufgabe 12.39.

1.11.4 12.40 •• 

Ein bestimmtes Radioteleskop besteht aus zwei Antennen im Abstand von 200 m. Beide Antennen werden auf eine bestimmte Frequenz – beispielsweise 20 MHz – abgestimmt. Die Signale aus jeder der beiden Antennen werden in einen gemeinsamen Verstärker eingespeist, aber eines der beiden Signale läuft zuvor durch einen sogenannten Phasenschieber, der dessen Phase um einen bestimmten wählbaren Betrag verzögert (Abbildung 12.68). Durch diesen Kniff kann das Teleskop in verschiedene Richtungen „schauen“. Bei der Phasenverzögerung null erzeugen ebene Radiowellen, die senkrecht auf die Antennen treffen, Signale, die sich im Verstärker konstruktiv überlagern. Welche Phasenverzögerung sollte man wählen, damit Signale, die unter einem Winkel von 10${}^{\circ}$ mit der Vertikalen (in der Ebene, die durch die Vertikale und die Verbindungslinie der Antennen definiert ist) auftreffen, sich im Verstärker konstruktiv überlagern? (Hinweis: Radiowellen breiten sich mit $3{,}00\cdot 10^{8}\,\text{m/s}$ aus.)

Abb. 12.68

Zu Aufgabe 12.40.

1.12 Schwebungen

1.12.1 12.41 • 

Wenn zwei bestimmte Stimmgabeln gleichzeitig angeschlagen werden, hört man 4,0 Schwebungen pro Sekunde. Die Frequenz der einen Stimmgabel ist 500 Hz. a) Welche Frequenzwerte sind für die andere Stimmgabel möglich? b) Auf die 500-Hz-Gabel wird ein Stückchen Wachs geklebt, um ihre Frequenz etwas zu verringern. Erläutern Sie, wie man mithilfe der dann gemessenen Schwebungsfrequenz bestimmen kann, welche der Antworten aus Teilaufgabe a die richtige Frequenz der anderen Stimmgabel ist.

1.13 Stehende Wellen

1.13.1 12.42 • 

Eine 3,00 m lange, beidseitig eingespannte Saite schwingt in der dritten Harmonischen. Die maximale Auslenkung eines beliebigen Punkts auf der Saite beträgt 4,00 mm. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von transversalen Wellen auf der Saite beträgt 50,0 m/s. a) Welche Wellenlänge und welche Frequenz hat die angegebene stehende Welle? b) Geben Sie die Wellenfunktion dieser stehenden Welle an.

1.13.2 12.43 • 

Ein 4,00 m langes Seil ist an einem Ende eingespannt, das andere Ende ist an einer langen, leichten Schnur befestigt, sodass es sich frei bewegen kann (loses Ende). Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen auf dem Seil beträgt 20,0 m/s. Berechnen Sie die Frequenz a) der Grundschwingung, b) der zweiten Harmonischen und c) der dritten Harmonischen.

1.13.3 12.44 •• 

Die Wellenfunktion $y(x,t)$ für eine bestimmte stehende Welle auf einer beidseitig eingespannten Saite ist gegeben durch

$$y(x,t)=(\text{4{,}20\,cm})\,\mathrm{sin\> }\!(\text{0{,}200\,cm}^{-1}\,x)\;\mathrm{cos\> }\!(\text{300\,s}^{-1}\,t),$$

wobei y und x in Zentimetern und t in Sekunden angegeben werden. Man kann eine stehende Welle als Überlagerung von zwei fortschreitenden Wellen betrachten. a) Welche Wellenlänge und welche Frequenz haben die beiden fortschreitenden Wellen, die sich zur stehenden Welle überlagern? b) Mit welcher Ausbreitungsgeschwindigkeit bewegen sich diese Wellen auf der Saite? c) Die Saite schwingt in der vierten Harmonischen. Wie lang ist sie?

1.13.4 12.45 •• 

Eine Orgelpfeife hat bei 16,00 ${}^{\circ}$C eine Fundamentalfrequenz von 440,0 Hz. Welche Fundamentalfrequenz hat diese Pfeife bei einer Temperatur von 32,00 ${}^{\circ}$C (unter der Annahme, dass sich die Länge der Pfeife nicht ändert)? Wäre es besser, Orgelpfeifen aus einem Material zu bauen, das sich bei Erwärmung merklich ausdehnt, oder sollten Orgelpfeifen besser aus einem Material bestehen, das bei allen „normalen“ Temperaturen seine Länge beibehält?

1.13.5 12.46 •• 

Aus theoretischen Erwägungen ergibt sich für eine Orgelpfeife mit kreisförmigem Querschnitt eine Endkorrektur (d. h. eine Differenz zwischen der tatsächlichen und der effektiven Länge einer Pfeife) von näherungsweise $\Updelta l=0{,}3186\,d$, wobei d den Durchmesser der Pfeife angibt. Berechnen Sie die tatsächliche Länge einer beidseitig offenen Pfeife, die den Ton c${}^{1}$ ( 262 Hz) als Grundschwingung hervorbringt und einen Durchmesser von a)  1,00 cm, b) 10,0 cm bzw. c) 30,0 cm hat.

1.13.6 12.47 •• 

Die g-Saite einer Violine ist 30,0 cm lang. Wenn sie „leer“, d. h. ohne Fingersatz, gespielt wird, schwingt sie mit 196 Hz. Die nächsthöheren Töne der C-Dur-Tonleiter sind a (220 Hz), h (247 Hz), c${}^{1}$ (262 Hz) und d${}^{1}$ (294 Hz). Wie weit vom Ende der Saite entfernt muss man die Finger für diese Töne setzen? (Hinweis: Eine gestrichene Saite schwingt real nicht in einer einzigen Mode; daher sind die in hier angegebenen Daten nicht ganz exakt.)

1.13.7 12.48 •• 

Die Saiten einer Violine sind in g, d${}^{1}$, a${}^{1}$ und e${}^{1}$ gestimmt, die jeweils eine Quint auseinanderliegen; es gilt daher $\nu(\mathrm{d}^{1})=1{,}5\,\nu(\mathrm{g})$, $\nu(\mathrm{a}^{1})=1{,}5\,\nu(\mathrm{d}^{1})=\text{440\,Hz}$ und $\nu(\mathrm{e}^{1})=1{,}5\,\nu(\mathrm{a}^{1})$. Die Entfernung zwischen den zwei Befestigungspunkten – bei der Schnecke und am Steg über dem Korpus – beträgt 30,0 cm. Die Zugkraft der e${}^{1}$-Saite beträgt 90,0 N. a) Welche lineare Massendichte hat die e${}^{1}$-Saite? b) Um zu vermeiden, dass sich das Instrument mit der Zeit verzieht, sollen die Zugkräfte für alle Saiten gleich sein. Berechnen Sie die linearen Massendichten der anderen Saiten.

1.14 *Harmonische Analyse

1.14.1 12.49 • 

Eine Gitarrensaite wird in der Mitte leicht angezupft. Sie nehmen den Ton mit einem Mikrofon auf und lassen ihn von Ihrem Computer analysieren. Demnach besteht der Ton im Wesentlichen aus einer 100-Hz-Schwingung mit einer kleinen Zumischung von 300 Hz. Welches sind die beiden dominanten Schwingungsmoden (stehender Wellen) auf der Saite?

1.15 *Wellenpakete

1.15.1 12.50 •• 

Eine Stimmgabel mit der Frequenz $\nu_{0}$ wird zur Zeit t = 0 angeschlagen und nach einer Zeitspanne $\Updelta t$ gestoppt. Die Wellenform des Schalls zu einem späteren Zeitpunkt ist in Abbildung 12.69 als Funktion von x dargestellt. Die Zahl n soll (näherungsweise) die Anzahl der Schwingungszyklen in dieser Wellenform sein. a) Wie hängen n, $\nu_{0}$ und $\Updelta t$ zusammen? b) Wie kann man die Wellenlängen mithilfe von $\Updelta x$ und n ausdrücken, wenn $\Updelta x$ die räumliche Länge des Wellenpakets ist? c) Drücken Sie die Wellenzahl k mithilfe von n und $\Updelta x$ aus. d) Die Zahl n der Schwingungszyklen ist nur mit einer Ungenauigkeit von ±1 bekannt. Erklären Sie anhand der Abbildung, warum das so ist. e) Zeigen Sie, dass die Unsicherheit in der Wellenzahl k aufgrund der Unsicherheit von n gegeben ist durch $2\uppi/\Updelta x$.

Abb. 12.69

Zu Aufgabe 12.50.

1.16 Allgemeine Aufgaben

1.16.1 12.51 • 

Zur Zeit t = 0 ist die Form eines Wellenpulses auf einer Saite durch die Funktion

$$y(x,0)=\frac{\text{0{,}120\,m}^{3}}{(\text{2{,}00\,m})^{2}+x^{2}}$$

gegeben (x wird in Metern gemessen). a) Skizzieren Sie $y(x,0)$ in Abhängigkeit von x. b) Geben Sie die Wellenfunktion $y(x,t)$ zu einer beliebigen Zeit t an, wenn sich der Puls mit einer Geschwindigkeit von 10,0 m/s in positiver x-Richtung bzw. in negativer x-Richtung bewegt.

1.16.2 12.52 • 

Eine Pfeife mit einer Frequenz von 500 Hz bewegt sich mit 3,00 Umdrehungen pro Sekunde auf einer Kreisbahn vom Radius 1,00 m. Wie groß sind die maximale und die minimale Frequenz, die ein Beobachter hört, der in 5,00 m Entfernung vom Bahnmittelpunkt in der Ebene der Kreisbahn steht?

1.16.3 12.53 •• 

Eine Lautsprechermembran von 20,0 cm Durchmesser schwingt bei 800 Hz mit einer Amplitude von 0,0250 mm. Unter der Annahme, dass die Luftmoleküle in der Umgebung jeweils dieselbe Schwingungsamplitude besitzen, bestimmen Sie a) die Druckamplitude und b) die Schallintensität unmittelbar vor der Membran sowie c) die von der Vorderseite des Lautsprechers abgestrahlte akustische Leistung.

1.16.4 12.54 •• 

In Abbildung 12.70 wird eine Hochgeschwindigkeitskamera zur Aufnahme eines Fotos von einem Geschoss verwendet, das gerade eine Seifenblase zum Platzen bringt. Die Stoßwelle des Geschosses wird durch ein Mikrofon erfasst, das den Blitz für die Aufnahme auslöst. Das Mikrofon befindet sich 0,350 m unterhalb der Geschossbahn auf einer Schiene, die parallel zur Geschossbahn verläuft. Die Schiene dient dazu, die Position des Mikrofons einzustellen. Wie weit muss sich das Mikrofon hinter der Seifenblase befinden, um den Blitz auszulösen, wenn das Geschoss mit 1,25-facher Schallgeschwindigkeit fliegt und der Abstand zwischen der Geschossbahn und der Schiene 0,350 m beträgt? (Nehmen Sie an, dass der Blitz instantan nach der Auslösung aufleuchtet.)

Abb. 12.70

Zu Aufgabe 12.54.

1.16.5 12.55 •• 

Eine 5,00 m lange, einseitig eingespannte Saite ist mit einer langen, praktisch masselosen Saite verbunden und schwingt mit 400 Hz in der fünften Harmonischen. Die Amplitude eines jeden Schwingungsbauchs auf der Saite beträgt 3,00 cm. a) Welche Wellenlänge hat diese Welle? b) Welche Wellenzahl k hat die Welle? c) Wie groß ist die Kreisfrequenz? d) Geben Sie die Wellenfunktion dieser stehenden Welle an.

1.16.6 12.56 •• 

Eine 2,5 m lange Saite mit einer Masse von 0,10 kg wird beidseitig befestigt und mit einer Zugkraft von 30 N gespannt. Wenn man die n-te Harmonische anregt, befindet sich 0,50 m von einem Ende entfernt ein Schwingungsknoten. a) Wie groß ist n? b) Welche Frequenzen haben die ersten drei Harmonischen auf dieser Saite?

1.16.7 12.57 •• 

Drei aufeinanderfolgende Resonanzfrequenzen einer Orgelpfeife sind 1310, 1834 und 2358 Hz. a) Ist die Pfeife an einem Ende geschlossen oder an beiden Seiten offen? b) Welche Grundfrequenz hat die Pfeife? c) Welche effektive Länge hat die Pfeife?

1.16.8 12.58 •• 

Eine stehende Welle auf einem Seil wird durch die Wellenfunktion $y(x,t)=(0{,}020\,\text{m})\mathrm{sin\> }(\tfrac{1}{2}\uppi\text{m}^{-1}x)\mathrm{cos\> }(40\uppi\text{s}^{-1}t)$ beschrieben; dabei werden x und y in Metern und t in Sekunden angegeben. a) Geben Sie Wellenfunktionen für zwei fortschreitende Wellen an, die sich zu dieser stehenden Welle überlagern. b) Welchen Abstand haben die Knoten der stehenden Welle? c) Welche maximale Geschwindigkeit hat ein Abschnitt des Seils bei $x=\text{1{,}0\,m}$? d) Wie hoch ist die maximale Beschleunigung, die ein Abschnitt des Seils bei $x=\text{1{,}0\,m}$ erfährt?

1.16.9 12.59 ••• 

Ein langes Seil mit einer linearen Massendichte von 0,100 kg/m unterliegt einer konstanten Spannkraft von 10,0 N. Ein Motor am Punkt x = 0 bewegt harmonisch ein Ende des Seils mit 5,00 Schwingungsperioden pro Sekunde und einer Amplitude von 40,0 mm auf und ab. a) Wie groß ist die Geschwindigkeit der Transversalwellen? b) Wie groß ist die Wellenlänge? c) Wie groß ist der maximale transversale lineare Impuls eines 1,00 mm langen Seilsegments? d) Wie groß ist die maximale resultierende Kraft auf ein 1,00 mm langes Segment des Seils?

1.16.10 12.60 ••• 

In dieser Aufgabe sollen Sie einen Ausdruck für die potenzielle Energie eines Saitensegments herleiten, das eine fortschreitende Welle überträgt (Abbildung 12.71). Die potenzielle Energie eines Segments ist gleich der Arbeit, die durch die Kraft beim Dehnen der Saite verrichtet wird. Sie beträgt $\Updelta E_{\mathrm{pot}}=|\boldsymbol{F}_{\mathrm{S}}|\,(\Updelta l-\Updelta x)$; darin ist $F_{\mathrm{S}}$ die Kraft, $\Updelta l$ die Länge des gedehnten Segments und $\Updelta x$ dessen ursprüngliche Länge. Aus der Abbildung erkennt man den für positives $\Updelta x$ gültigen Zusammenhang

$$\Updelta l=\sqrt{(\Updelta x)^{2}+(\Updelta y)^{2}}=\Updelta x\sqrt{1+(\Updelta y/\Updelta x)^{2}}\,.$$

a) Zeigen Sie mithilfe einer Binomialentwicklung, dass gilt

$$\Updelta l-\Updelta x\approx\tfrac{1}{2}\,(\Updelta y/\Updelta x)^{2}\,\Updelta x$$

und damit

$$\Updelta E_{\mathrm{pot}}\approx\tfrac{1}{2}\,|\boldsymbol{F}_{\mathrm{S}}|\,(\Updelta y/\Updelta x)^{2}\,\Updelta x\,.$$

b) Berechnen Sie $\partial y/\partial x$ aus der Wellenfunktion $y(x,t)=A\,\mathrm{sin\> }\!(kx-\omega t)$ und zeigen Sie, dass gilt:

$$\Updelta E_{\mathrm{pot}}\approx\tfrac{1}{2}\,|\boldsymbol{F}_{\mathrm{S}}|\,k^{2}\,A^{2}\,\left[\mathrm{cos\> }^{\!2}(kx-\omega t)\right]\,\Updelta x\,.$$

Abb. 12.71

Zu Aufgabe 12.60.

1.16.11 12.61 ••• 

Drei Wellen mit derselben Frequenz, Wellenlänge und Amplitude breiten sich in dieselbe Richtung entlang der x-Achse aus. Die drei Wellen sind gegeben durch $y_{1}(x,t)=\text{(5{,}00\,cm)}\,\mathrm{sin\> }\!(kx-\omega t-\tfrac{\uppi}{3})$, $y_{2}(x,t)=\text{(5{,}00\,cm)}\,\mathrm{sin\> }\!(kx-\omega t)$ und $y_{3}(x,t)=\text{(5{,}00\,cm)}\,\mathrm{sin\> }\!(kx-\omega t+\tfrac{\uppi}{3})$. Dabei soll x in Metern und t in Sekunden angegeben werden. Die resultierende Welle ist $y(x,t)=A\,\mathrm{sin\> }\!(kx-\omega t+\delta)$. Welche Werte haben dabei A und δ?

1.16.12 12.62 ••• 

Im Prinzip lässt sich eine harmonische Welle von nahezu beliebiger Form als Summe von harmonischen Wellen verschiedener Frequenzen darstellen . a) Betrachten Sie die Funktion, die durch

$$\begin{aligned}f(x)&=\frac{4}{\uppi}\left(\frac{\mathrm{cos\> }x}{1}-\frac{\mathrm{cos\> }3\,x}{3}+\frac{\mathrm{cos\> }5\,x}{5}-+\cdots\right)\\ &=\frac{4}{\uppi}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\mathrm{cos\> }\![(2\,n+1)x]}{2\,n+1}\end{aligned}$$

definiert ist. Schreiben Sie Anweisungen für ein Tabellenkalkulationsprogramm, sodass Sie diese Reihe mit einer endlichen Zahl von Termen berechnen können. Zeichnen Sie für den Bereich x = 0 bis $x=4\uppi$ drei Graphen der Funktion: Nähern Sie für den ersten Graphen die Summe von n = 0 bis $n=\infty$ mit dem ersten Term der Summe an. Verwenden Sie für den zweiten bzw. dritten Graphen die ersten fünf bzw. die ersten zehn Terme. Diese Funktion wird manchmal als Rechteckwelle bezeichnet. b) Wie hängt die obige Funktion mit der Leibniz’schen Reihendarstellung

$$\frac{\uppi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+-\cdot s$$

für $\uppi$ zusammen?