Étude du choc de deux petites masses en présence d'un troisième corps de masse prépondérante

Résumé

L'étude analytique de l'èvolution dans le problème rectiligne des trois corps lorsque la constante des forces vives est nulle, conduit à poser le problème du choc de deux masses,M ₂ etM ₃, en présence de la troisième,M ₁. Ce problème, qu'il semble difficile d'aborder dans le cas général, peut être partiellement résolu lorsque les corpsM ₂ etM ₃ ont des masses égales, négligeables devant celle du troisième corpsM ₁.

Cette étude nous intéresse à double titre:

• - Il s'agit d'abord de savoir comment le choc modifie les ‘conditions initiales’ du système; c'est-à-dire: si l'on se donne les positions et les vitesses immédiatement avant le choc, comment sont-elles modifiées après le choc?

• - Dans quelle mesure la connaissance de la position et de la vitesse du corpsM ₁ par rapport au centre de gravité deM ₃ etM ₂, permet-elle de prévoir ce que sera (ou ce qu'a été) l'évolution future (ou passée) du système. C'est le problème de l'allure finale du mouvement qui se pose de nouveau ici, et qui a déjà été étudié (cf. article paru dansAstron. Astrophys.).

Dans une première partie, nous étudierons le problème strictement mécanique du choc deM ₂ etM ₃ en présence deM ₁. Dans la seconde partie, nous utiliserons la représentation des mouvements du système dans un diagramme à 2 dimensions, qui nous permettra de re-poser d'une manière originale le problème de l'allure finale du mouvement, relativement aux circonstances dans lesquelles ont lieu les chocsM ₂ M ₃, et d'entrevoir une extension possible au cas général.

Abstract

The analytical study of the evolution in the rectilinear problem of three bodies, leads us to consider the collision between two bodies,M ₂ andM ₃, in the presence of the third body,M ₁. This problem, which seems to be difficult to approach in the general case, can be partly solved if the masses ofM ₂ andM ₃ are equal and can be neglected in regard toM ₁.

In this particular case of the general problem, the mechanical study of a collision betweenM ₂ andM ₃, leads to two distinct types of collisions: ‘instantaneous collisions’, and ‘collisions with repetition’, according to the value of a parameter which depends on the position and the speed of the binaryM ₂ M ₃, relative toM ₁, in the collision. In the first type, the collision exchanges the speeds ofM ₂ andM ₃, while in the second type, there is a series of collisions succeeding each other.