Optimization and optimality test for the Max-Cut Problem

Abstract

We show that the following two problems are polynomially equivalent:

• 1) Given a (weighted) graphG, and a cutC ofG, decide whetherC is maximal or not.

• 2) Given a (weighted) graphG, and a cutC ofG, decide whetherC is maximal or not, and in case it is not, find a better solutionC′.

As a consequence, an optimality testing oracle may be used to design a polynomial time algorithm for approximately solving the (weighted) Max-Cut Problem.

This in turn implies that recognizing optimal cuts in an unweighted graph is NP-hard.

Zusammenfassung

Wir zeigen, daß folgende Probleme polynomial äquivalent sind:

• 1) Gegeben ein (gewichteter) GraphG, ein cutC vonG. Entscheide obC optimal ist oder nicht.

• 2) Gegeben ein (gewichteter) GraphG, ein cutC vonG. Entscheide, obC optimal ist oder nicht, und falls nicht, finde einen besseren cutC′.

Eine Konsequenz hiervon ist, wie wir sehen werden, daß ein Optimalitätstest Orakel einen polynomialen Algorithmus zur approximativen Lösung von Max Cut Problemen liefert. Insbesondere folgt, daß das Erkennen von maximalen cuts in ungewichteten Graphen NP-schwer ist.