Non removable edges in 3-connected cubic graphs

Abstract

LetG be a cyclicallyk-edge-connected cubic graph withk ≥ 3. Lete be an edge ofG. LetG′ be the cubic graph obtained fromG by deletinge and its end vertices. The edgee is said to bek-removable ifG′ is also cyclicallyk-edge-connected. Let us denote by 〈S _k (G)〉 the graph induced by thek-removable edges and by 〈N _k (G)〉 the graph induced by the non 3-removable edges ofG. In a previous paper [7], we have proved that 〈N ₃(G)〉 is empty if and only ifG is cyclically 4-edge connected and that if 〈N ₃(G)〉 is not empty then it is a forest containing at least three trees. Andersen, Fleischner and Jackson [1] and, independently, McCuaig [11] studied 〈N ₄(G)〉. Here, we study the structure of 〈N _k (G)〉 fork ≥ 5 and we give some constructions of graphs such that〈N _k (G)〉 = E(G). We note that the main result of this paper (Theorem 5) has been announced independently by McCuaig [11].

Résumé

SoitG un graphe cubique cyliquementk-arête-connexe, aveck ≥ 3. Soite une arête deG et soitG′ le graphe cubique obtenu à partir deG en supprimante et ses extrémités. L'arêtee est ditek-suppressible siG′ est aussi cycliquementk-arête-connexe. Désignons par 〈S _k (G)〉 le graphe induit par les arêtesk-suppressibles et par 〈N _k (G)〉 celui induit par les arêtes nonk-suppressibles. Dans un précédent article [7], nous avons montré que 〈N ₃(G)〉 est vide si et seulement siG est cycliquement 4-arête-connexe et que si 〈N ₃(G)〉 n'est pas vide alors c'est une forêt possédant au moins trois arbres. Andersen, Fleischner and Jackson [1] et, indépendemment, McCuaig [11] ont étudié 〈N ₄(G)〉. Ici, nous étudions la structure de 〈N _k (G)〉 pourk ≥ 5 et nous donnons des constructions de graphes pour lesquels〈N _k (G)〉 = E(G). Nous signalons que le résultat principal de cet article (Théorème 5) a été annoncé indépendamment par McCuaig [11].