Espaces à Courbure Négative et Groupes Hyperboliques

Résumé

On a vu en 2.22 que le disque de Poincaré est un espace hyperbolique au sens de Gromov. En utilisant des techniques classiques de comparaisons (rappelées au §1), nous généralisons ce résultat aux variétés à courbure variable; plus précisément, nous montrons que toute variété riemannienne complète simplement connexe à courbure majorée par un nombre κ < 0 est hyperbolique. Au §3, on montre . que le groupe fondamental d’une variété riemannienne compacte M est quasi-isométrique au revêtement universel M͂ de cette variété. On en déduit (grâce à l’invariance de l’hyperbolicité par quasi-isométrie établie au chapitre 5) que le groupe fondamental d’une variété riemannienne compacte à courbure négative est un groupe hyperbolique (théorème 24). Le dernier paragraphe de ce chapitre présente quelques considérations sur la notion de convexité.