Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Darstellbarkeit als Laplace-Transformierte einer Distribution

Zusammenfassung

Ein charakteristisches Merkmal der L-Transformierten F (s) von Funktionen besteht darin, dass sie gegen 0 konvergieren, wenn die Variable s in einem Winkelraum |arc s| ≦ Ψ < π/2 zweidimensional gegen ∞ strebt (Satz 23.2, Zusatz), und dass dies sogar in einer Halbebene Rs ≧ x ₀ gilt, wenn L {f} für Rs ≧ x ₀ absolut konvergiert (Satz 23.7). Die L-Transformierten von Distributionen T brauchen diese Eigenschaft nicht zu haben, wie die Beispiele L {δ ⁽ⁿ⁾} = =s ⁿ (n = 0,1,...), Rs > 0, zeigen. Bei ihnen konvergiert F(s) sogar gegen ∞ für s →∞ in Rs > 0, allerdings nicht stärker als eine Potenz. Wir zeigen nun, daß sich durch die Majorisierung durch eine Potenz die L-Transformierten von Distributionen vollständig charakterisieren lassen. Dazu dienen die zwei folgenden Sätze. Für die dabei vorkommenden Begriffe verweisen wir auf die Definitionen in §12.