Abbildungsräume

Zusammenfassung

In diesem Kapitel befassen wir uns mit Konvergenzbegriffen für Abbildungen. In den ersten vier Abschnitten 7.1 bis 7.4 gehen wir auf die stetige Konvergenz ein. Wir definieren diese für Abbildungen mit im allgemeinen unterschiedlichen Definitionsbereichen, wozu wir den Begriff des offenen Mengenlimes benötigen. Die stetige Konvergenz spielt unter den Konvergenzbegriffen für Abbildungen eine ausgezeichnete Rolle; ist A eine Menge von Abbildungen eines Limesraumes X in einen Limesraum Y, so definiert die stetige Konvergenz in A die feinste Limitierung von A, bezüglich der die Evaluationsabbildung (f,x) → f(x) (f ∈ A, x ∈ X) stetig ist. Aus der stetigen Konvergenz von Abbildungen folgt die abgeschlossene Konvergenz derselben, wobei die Abbildungen als Teilmengen des Produktes des Urbild-und Bildraumes zu verstehen sind. In gewissen Fällen läßt sich unter Benutzung dieser abgeschlossenen Konvergenz die stetige Konvergenz sogar charakterisieren. Die stetige Konvergenz definiert stets eine Limitierung und genau dann eine Pseudotopologie, wenn die zugelassenen Abbildungen stetig sind und offene Mengen als Definitionsbereiche haben. Im Abschnitt 7.3 führen wir Kriterien dafür an, daß die Limitierung der stetigen Konvergenz eine mehrstufige Topologie bzw. eine Topologie ist.