Gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten im einseitig unendlichen Intervall unter Anfangsbedingungen

Zusammenfassung

Die Integration von gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen bildet das heutzutage sowohl in den Kreisen der Theoretiker als vor allem auch der Praktiker am besten bekannte Anwendungsgebiet der L-Transformation. Den Ansatzpunkt bilden die Regeln XII–XV, die besagen, dass der Differentiation im Original- bzw. Bildbereich im wesentlichen die Multiplikation mit der Variablen im Bild- bzw. Originalbereich entspricht, so dass durch Anwendung der L-Transformation bzw. ihrer Umkehrung der transzendente Prozess der Differentiation eliminiert und durch einen einfachen algebraischen Prozess ersetzt wird. Wenn wir zunächst die Differentialgleichung im Originalbereich betrachten, so werden wir, je nachdem die Variable, nach der differenziert wird, sich im Intervall (0, ∞) oder (− ∞, + ∞) bewegt, die L _I- oder L _II-Transformation anwenden. In diesem Kapitel behandeln wir den Fall des Intervalls (0, ∞). Dabei wird von besonderer Wichtigkeit der Umstand sein, dass in der Differationsregel für die L _l-Transformation die Werte F(0), F′(0),... auftreten, die in der Theorie der Differentialgleichungen die Anfangswerte der Funktion heissen. Dies bringt es nämlich mit sich, dass die Methode der L _I-Transformation gerade den sogenannten Anfangswertproblemen (auch Cauchysche Probleme genannt) angepasst ist¹²⁶.