Zusammenfassung
Von der bilateralen wenden wir uns nun anderen Arten geometrischer Symmetrie zu. Selbst bei der Besprechung des bilateralen Typus konnte ich nicht umhin, gelegentlich solche andere Symmetrien, wie die zylindrische oder die sphärische, heranzuziehen. Es scheint mir am zweckmäßigsten, den zugrundeliegenden allgemeinen Begriff vorher mit einiger Präzision festzulegen, und zu diesem Zweck ist etwas Mathematik erforderlich, wofür ich um Ihre Geduld bitte. Ich habe von Transformationen gesprochen. Eine Abbildung S des Raums ordnet jedem Raumpunkt p einen Punkt p′ als seinen Bildpunkt zu. Eine besondere derartige Abbildung ist die Identität I, die jeden Punkt in sich selbst überführt. Sind zwei Transformationen S, T gegeben, so kann man die eine nach der anderen ausführen: wenn p durch S in p′ und p′ durch T in p″ übergeht, dann geht durch die resultierende Abbildung, die wir mit ST bezeichnen, p in p″ über. Eine Abbildung kann eine Inverse S′ besitzen derart, daß SS′ = I und S′S = I ist; mit anderen Worten, wenn S den beliebigen Punkt p in p′ überführt, so führt S′ umgekehrt p′ wieder in p über; es verhält sich ähnlich, wenn S′ an erster und S an zweiter Stelle ausgeübt wird.
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Referenzen
Während ein Segment nur Länge besitzt, besitzt ein Vektor Länge und Richtung. Ein Vektor ist eigentlich dasselbe wie eine Translation, obgleich man sich verschiedener Ausdrucksweisen für Vektoren und Translationen bedient. Anstatt von der Translation a zu sprechen, die den Punkt A in A′ überführt, spricht man von dem Vektor a = AA′; und an Stelle der Wendung: die Translation a führt A in A′ über, benützt man die, daß A′ der Endpunkt des von A abgetragenen Vektors a ist. Derselbe von В abgetragene Vektor a endigt in B′, wenn die A in A′ überführende Translation В in B′ überführt.
Dieses wie das nächste Bild ist dem Studium Generale entnommen, S. 249 und S. 241 (Artikel von W. Troll, Symmetriebetrachtung in der Biologie).
Der Leser sollte vergleichen, was G. D. Birkhoff über die Mathematik der Dichtung und der Musik in den beiden im ersten Vortrag, Fußnote 1, zitierten Publikationen zu sagen hat.
Dürer betrachtete seinen Kanon der menschlichen Gestalt eher als ein Schema, von dem der Künstler abweichen, als eins, nach dem er hinstreben sollte. Vitruvius’ temperaturae scheinen denselben Sinn zu haben, und vielleicht deuten die Worte παρὰ µικρόν in der Polyklet zugeschriebenen und in Vortrag 1, Fußnote 1, zitierten Äußerung in die gleiche Richtung.
Dieses Phänomen spielt auch in J. Hambidges Konstruktionen eine Rolle. Seine Dynamic symmetry enthält auf S. 146–157 ausführliche Anmerkungen des Mathematikers R. C. Archibald über die logarithmische Spirale, den goldenen Schnitt und die Fibonaccischen Reihen.
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Weyl, H. (1955). Translative, Rotative und Verwandte Symmetrien. In: Symmetrie. Wissenschaft und Kultur, vol 11. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-6876-1_2
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