Zusammenfassung
Die Pexidersche Gleichung (161) läßt sich ohne weiteres auf Funktionen mehrerer Veränderlicher verallgemeinern:
und ebenso wie (161) lösen. Wenn man nämlich x 1 = x 2 = ... = x n = 0 bzw. y 1 = y 2 = ... = y n = 0 and G(0, 0,..., 0) = a, H(0, 0,..., 0) = b,
setzt, so wird
bzw.
und
womit (376) auf (255) zurückgeführt wurde. Das allgemeine Lösungssystem von (376), bei dem F(0, 0, …, 0, x k , 0, ..., 0) (k = 1, 2, …, n) auf einer Menge von. positivem Maße eine meßbare Majorante hat, ist also
Diese Funktionen erfüllen auch in der Tat (376).
The erratum of this chapter is available at http://dx.doi.org/10.1007/978-3-0348-6904-1_14
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Literatur
Für verwandte Funktionalgleichungen und Funktionalgleichungssysteme siehe zum Beispiel Suto 1913, 1914 [2], Gronwall 1915, Dickson 1920, 1921, Toda 1936, Ionescu 1938, Gheorghiu 1950, 1954 [1, 2], Redheffer 1956, 1957, Chaundy-Mcleod 1958, Dynkin 1959.
Siehe unter anderen Wellstein 1910, Halphen 1911, Favre 1917, Ghermanescu 1943 [1, 4], Alaci 1950, 1952, 1955, Vincze 1960.
Vgl. unter anderen Grassmann 1844, Schröder 1877, 1887, Hilbert 1900 [1, 2, 3], 1901 [1, 2, 3], Suto 1913, Schweitzer 1913 [1], 1914 [1], 1915 [2, 3, 7, 8], 1916 [2, 5], 1917 [1], 1918 [2], Onicescu 1927, Suschkewitsch 1929, Moufang 1932, Bol 1935, Boggs-Rainich 1937, Hausman-Ore 1937, Etherington 1949, Aczél 1949 [2], 1950 [3], 1951 [2], 1958 [4], 1960 [4], Hosszú 1952, 1955 [4], 1956, 1959 [1], Belousov 1955, 1956, 1958 [3], 1959, Skolem 1956, Sade 1957 [1], 1958 [1, 2], 1959 [1, 3], Bellman 1958 [2, 3], Radó 1958, Aczäl-Belousov- Hosszú 1960, Aczél-Hosszú-Straus 1960. Hierher gehören auch die Untersuchungen über den Aufbau von Funktionen mehrerer Veränderlicher mittels beliebiger bzw. stetiger Funktionen zweier Veränderlicher etwa in der Form F (x, y, z) = G [H (x, y), z], F (x, y, u, e) = G [H (x, y), K (u, v)] usw. (siehe unter anderen HILBERT 1900 [1, 2, 3], 1901 [1, 2, 3], Bieberbach 1931, 1937, Sierpinski 1934, 1951, Neuschuler 1945, 1948 [1, 2], 1956, Steinhaus 1954, Kolmogoroff 1956 [1, 2], Arnold 1957 [1, 2], 1958, 1959), sowie die Untersuchungen über die Funktionalgleichungssysteme [vgl. (282), Nummer 5.3.1.] der Mittelwerttheorie (siehe unter anderen ENCKE 1831, Bemporad 1926, 1930, Kolmogoroff 1930, Nagumo 1930, Aumann 1935, Dodd 1936 [1, 2], VERESS 1936, Horvath 1947 [1,2,3], Aczél 1954 [1, 2], 1956 [3]).
Vgl. unter anderen Barnard 1949, Goon 1950, Richter 1952 [1, 2, 3], 1953, 1954, 1956, Aczél 1955 [2], Janossy 1955. Einige dieser Arbeiten verallgemeinern das Axiomen-system von A.N. Kolmogoroff (Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Berlin 1933) in demselben Sinne wie wir in diesem Punkte das von RÉNYI 1954. Natürlich können die hier folgenden Betrachtungen auch speziell zur Verallgemeinerung des Kolmogoroffschen Axiomensystem verwendet werden.
Siehe zum Beispiel R. Courant, Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, II (Berlin 1931), Kap. III, § 3, S. 129.
Siehe unter anderen Wellstein 1910, Alaci 1923, 1943 [2], 1950, 1952, 1955. Für die Lösung einiger anderer elementarer Funktionalgleichungen und Funktionalgleichungssysteme durch Derivation vgl. unter anderen Gheorghiu 1950, Kurepa 1956.
Vgl. Hosszú 1957 [3], 1958.
Unter anderen Abel 1826 [1], Bourlet 1897, Stackel 1897, Hayashi 1897, 1899, Pincherle 1906, 1912, Schweitzer 1911 [4], 1912, 1913 [2, 3, 4], 1917 f3], Suto 1913, Blaschke-Bol 1938, Hadamard 1944, Aczél 1949 [4], 1950 [1], 1952 [2], Kuwagaki 1952 [3], Hosszú 1953 [4], 1955 [3, 5], 1956, Radström 1955, Ryll-Nardzewski 1955, Maier 1957, Anghelutza 1959 [2]. Manche dieser Arbeiten enthalten auch Ergebnisse bezüglich (398) bis (400) und bezüglich verwandter Gleichungen. Vgl. noch 105)
Damit hängen mit (397), (399), (400) auch die Untersuchungen über die Darstellbarkeit von derivierbaren Funktionen in der Form zusammen (vgl. 99)). Vgl. unter anderen Goursat 1899, Hilbert 1927, Ermelowa 1939, Neuschuler 1942, 1947 [2, 3], 1948 [1, 2], 1952 [1, 2], 1954, Belgrano 1951, 1953, Nikolaev 1953, 1958, 1959, Bal-Rusu 1954, Vitushkin 1954,. 1955, Bal-Ranó 1955 [1, 2], James-Levi 1959.
Vgl. unter anderen Schweitzer 1911 [1, 2, 3], 1914 [2], 1915 [1, 4], Hoheisel 1929, Hosszd 1953 [5], 1956.
Vgl. für die Lösung dieser Gleichung und ihrer Spezialfälle durch Derivation unter anderen Suto 1913, Schweitzer 1917 [3], Aczél-Fenyô 1946 [1], Aczél 1949 [4], 1950 [1], 1952 [2], Hosszú 1952, 1953 [2], 1956, Anghelutza 1958.
Über die Lösung durch Zurückführung auf partielle Differentialgleichungen, auch von Spezialfällen, vgl. Hosszú 1953 [1, 3], 1955 f4], 1956, 1958, 1959 [2, 9], Got,4B 1954 [2], 1956 [1].
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Aczél, J. (1960). Gleichungen mit mehreren unbekannten Funktionen mehrerer Veränderlicher. Zurückführung auf partielle Differentialgleichungen. In: Vorlesungen über Funktionalgleichungen und ihre Anwendungen. Mathematische Reihe, vol 25. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-6904-1_8
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Publisher Name: Birkhäuser, Basel
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