Abstract
Isoperimetric problems were resumed in the 1730s by Euler.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Notes
- 1.
His early interest in isoperimetric problems probably originated in his study of the problem of the curve of quickest descent in a resisting medium, [68]. The motion in resisting medium was in fact a topic which particularly interested Euler; for instance, he treated it extensively in 1736 in his Mechanica analytica [71] and, in 1740 ([73]), he corrected and extended earlier work by Jakob Hermann [125].
- 2.
But the research presented there seems to have been completed several years earlier; they appeared in the volume 6 (dated 1732-33) and in volume 8 (dated 1736) of the Commentarii of St. Petersburg Academy of Science.
- 3.
He also mentions Taylor and Hermann .
- 4.
More recently Craig G. Fraser has hold in [105] that those authors, and particularly Carathéodory, “fail to give a just estimation of the theory contained in Euler’s papers of 1738 and 1741” claiming that “although Euler’s papers of 1738 and 1741 contain an important error, there is also much of interest in them; in several respects the analysis is substantially superior to the corresponding treatment in the Methodus inveniendi (1744)”. We shall return to this in the last section of this chapter.
- 5.
The following is the original passage in French.
Jacques Bernoulli est le premier qui ait reconnu dans ces sortes de questions la nécessité de considérer trois côtés consécutifs de la courbe, et de faire varier à-la-fois les deux ordonnées consecutives qui répondent aux angles formés par ces côtés. C’est sur ce principe qu’il a fondé son analyse du problème des isoperimètres, intitulée Analysis magni problematis isoperimetrici, et publiée a Bâle en 1701, et dans les Actes de Léipsic de la même année; et le principe a servi de base ensuite aux solutions données par Tailor, dans son Methodus incrementorum; par Jean Bernoulli, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de 1718; et par Euler, dans les tomes VI et VIII des Anciens Commentaires de Pétersboug.
Par la considération d’une partie infiniment petite de la courbe regardée comme composée de deux ou de trois lignes droites, les problèmes se réduisent à l’analyse ordinaire; et la difficulté ne consiste plus qu’à traduire les solutions en équations différentielles, par les substitutions des valeurs des ordonnées et des abscisses successives exprimées en differences, en ayant soin de ne conserver que les termes du même ordre, suivant la loi de l’homogénéité des quantités infiniment petites. Mais les résultats obtenus de cette manière se présentent rarement sous forme générale et applicable à tous les problèmes du même genre. De plus, il y a des cas où il ne suffit pas de considérer une portion infiniment petite de la courbe, parceque la propriété du maximum ou minimum peut avoir lieu dans la courbe entière, sans avoir lieu dans chacune de ces portions infiniment petites; ce sont ceux où la fonction différentielle dont l’intégrale doit être un maximum ou un minimum, contient elle-même une autre fonction intégrale, à moins que, par les conditions du problème, cette intégrale doive avoir une valeur constante; par example, lorsque la fonction dont l’intégrale doit être un maximum ou un minimum, dépend non-seulement des abscisses et des ordonnées et leur differences, mais encore de l’arc même de la courbe, lequel n’est donné, comme l’on sait, que par une expression intégrale; dans ce cas, les solutions qu’on trouverair par la simple considération d’une portion infiniment petite de la courbe, seraient inexactes, à moins que la longuer ne fût supposée constant, comme dans les problèmes des isoperimètres.
A plus forte raison, il ne sera pas permis de n’avoir égard, dans le calcul, à une petite portion de la courbe, lorque la fonction différentielle dépendra d’une quantité donnée, simplement par une équation differentielle non intégrable en général; c’est pourquoi on doit regarder comme fausse la solution qu’Euler lui-même a donnée du problème de la brachistochrone dans un milieu résistant comme une fonction de la vîtesse, dans le tome VII des Anciens Commentaires de Pétersbourg, et dans le second volume de sa Mécanique, et on peut s’en convaincre en la comparant à celle qu’on trouve dans son ouvrage de 1744, intitulé Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimique proprietate gaudentes (Art 46).
C’est proprement dans ce dernier ouvrage qu’Euler a donné une solution générale et complète des iso-perimètres. Pour trouver les conditions de maximum ou minimum, il se contente de faire varier une seule ordonnée de la courbe, et il en déduit la valur différentielle de la formule, qui doit être un maximum ou un minimum, en substituant à la place des différentielles de l’ordonnée les différences successive des ordonnées consécutive, et à la place des expressions intégrales les sommes des élemens répondans à toute l’étendue de la courbe. Son calcul devien ainsi très-long, surtout par les suites infinies qui s’y mêlent, lorsque la fonction proposée contient différentes intégrales, et dont il faut déterminer la somme pour parvenir à des résultats nets et précis; et on ne peut trop admirer l’adresse avec laquelle l’auteur surmonte ces difficultés, et obtient, en dernière analyse, des formules simples, générales, et élégantes. Son ouvrage est d’ailleur très-précieux par le nombre et la beauté des examples qu’il contient, et il n’y en a peut-être aucun qui puisse ẽtre plus utile à ceux qui desirent s’exercer sur le calcul intégrale.
Jusqu’alors on avait traité séparément, et par des procédés differens, le problème oú il suffit de varier une ordonnée, et ceux qui demandent la variation de deux ou plusieur ordonnées consecutives.
Euler a remarqué le premier que tous les problèmes de ce genre pouvaient être rappelés à une même analyse, parceque l’uniformité qui doit régner dans les opérations relative aux différens points d’une même courbe fait que, dès qu’on a trouvé le résultat de la variation d’une ordonnée, la même expression rapportée à l’ordonnée qui suit immédiatement, donnera aussi le resultat de la variation de cette ordonnée, et aussi des autres.
Cette remarque a conduit Euler à un beau théorême, et de la plus grande utilité dans cette matière; c’est que, pour trouver une courbe qui ne jouisse d’une propriété de maximum ou minimum que parmi toutes les courbes qui ont une ou plusieurs propriétés connues, il suffit d’ajouter à l’expression de la propriété qui doit ẽtre un maximum ou un minimum, celles des autres propriétés connues, multipliées chacune par une coefficient constant et arbitraire, et chercher ensuite la courbe dans laquelle cette expression composée sera un maximum ou un minimum entre toutes les courbes possibles.
- 6.
To be understood as amongst all curves find those which minimize or maximize a variational integral. An example is given by the brachistochrone problem.
- 7.
A typical example is the classical isoperimetric problem. Constraints will always be given in terms of variational integrals.
- 8.
In fact, since \(\beta m\) is infinitesimal
$$ab=\sqrt{am^2+\beta m^2}=am\sqrt{1+\big (\frac{\beta m}{am}\big )^2}=am \big (1+\big (\frac{\beta m}{am}\big )^2\big )=am,$$so that \(a\beta -ab=a\beta -am=\beta m;\) the second equality is inferred similarly.
- 9.
With reference to Jakob and Johann Bernoulli papers on the isoperimetric problems, here Euler’s lemma does not hold, while, due to the isoperimetric condition – there one seeks a minimum or maximum only amongst isoperimetric and not all curves – in their cases it does hold.
- 10.
Minimizing perimeter under prescribed enclosed area and maximizing enclosed area under prescribed perimeter are equivalent problems in respect to the necessary conditions.
- 11.
In fact,
$$Bb^n-B\beta ^n=B\beta ^n(1+\frac{b\beta }{B\beta })^n=n\, b\beta \, B\beta ^{n-1}$$and, similarly,
$$Cc^n-C\gamma =n\, c\gamma \, C\gamma ^{n-1},$$since \(b\beta \) and \(c\gamma \) are infinitesimally small.
- 12.
It is worth remarking again that, though it is false in general, this is true if we work with isoperimetric curves, i.e. curves of the same length, as was the case of Jakob and Johann Bernoulli , as it may be easily seen. Of course Euler could not have made such a remark as he was not aware of the error at this stage. Apart from this initial error Euler’s computations are otherwise correct.
- 13.
In fact,
$$\begin{aligned}&\big (s^{n-1}+(s+ds)^{n-1}\big )q-(s+ds)^{n-1}(q+dq) \\ =&\Big (2s^{n-1}+\big ((s+ds)^{n-1}-s^{n-1}\big )\Big )q-\big ((s+ds)^{n-1}-s^{n-1}\big )(q+dq) -s^{n-1}(q+dq) \\ =&2s^{n-1}q+(n-1)s^{n-2}q\, ds-(n-1)s^{n-2}ds(q+dq)-s^{n-1}(q+dq) \\ =&s^{n-2}(sq-sdq) \end{aligned}$$and
$$\begin{aligned}&(s+ds)^{n-1}(q+dq) \\ =&\big ((s+ds)^{n-1}-s^{n-1}\big )(q+dq)+s^{n-1}(q+dq) \\ =&(n-1)s^{n-2}ds(q+dq)+s^{n-1}(q+dq) \\ =&s^{n-2}\big ( sq+sdq+(n-1)qds \big ). \end{aligned}$$ - 14.
In the 1742 paper and in the Methodus inveniendi Euler will subsume the integrals of the type \(\int T\, ds\) or \(\int X\, ds^m\, dy^n\, dx^{1-m-n}\) to integrals of type \(\int Q\, dx\) where \(Q=Q(x,y,p,s)\) and \(p=\frac{dy}{dx}.\)
- 15.
Here he again starts from the assumption that indifference with respect to infinitesimal variations arises on subarcs of a curve whenever the curve is globally a maximum or a minimum. However, such an assumption does not hold in general. We observe that in the cases into consideration it would not suffice to restrict ourselves to isoperimetric curves but, for instance, we should require that also the values of \(\int Vdx,\) remain globally constant on the class of competing curves.
- 16.
Euler apparently never proved the claim. Trivially, \(P=mp+n\pi \) solves (5.9); Lagrange in his historical survey writes that actually \(P=mp+n\pi ,\) containing two arbitrary constants, is the complete integral of (5.9). In [104] Fraser integrates (5.9) as it could have been done by Euler. He multiplies the equation by p and notices that
$$p \pi dP - p Pd\pi =P(\pi dp - p d\pi )+\pi (pdP - Pdp)$$to obtain
$$p ddP(pd\pi - \pi dp)+Pddp(p d\pi - \pi dp)+\pi ddp(pdP - Pdp)+pdd\pi (pdP - Pdp)=0.$$This equation may be rewritten
$$\frac{pddP - Pddp}{pdP - Pdp}=\frac{pdd\pi -\pi ddp}{pd\pi - \pi dp}$$or
$$\frac{d(pdP - Pdp)}{pdP - Pdp}=\frac{d(p d\pi - \pi dp)}{p d\pi - \pi dp}.$$Integration then yields \(pdP-Pdp=n(pd\pi - \pi dp),\) where n is a constant. This relation may be written in the form
$$d\frac{P}{p}=n d\frac{\pi }{p}:$$A further integration then yields the result.
- 17.
Again correctly when integrands do not depend on s, incorrectly otherwise.
- 18.
As we have noticed several times, this is false in general if Q depends on s.
- 19.
For that it suffices to differentiate with respect to q the previous equality and notices that
$$\frac{d}{dq}=\frac{dx}{dq}\frac{d}{dx}=\frac{1}{-[M]+\frac{d[V]}{dx}}\frac{d}{dx}.$$ - 20.
However, it is to be noticed that it opened the way to new developments, at least; and it is surely hard to say what should be the right evolution of things.
Author information
Authors and Affiliations
Corresponding author
Rights and permissions
Copyright information
© 2016 Springer International Publishing Switzerland
About this chapter
Cite this chapter
Freguglia, P., Giaquinta, M. (2016). Euler’s Memoirs of 1738 and 1741. In: The Early Period of the Calculus of Variations. Birkhäuser, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-38945-5_5
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-38945-5_5
Published:
Publisher Name: Birkhäuser, Cham
Print ISBN: 978-3-319-38944-8
Online ISBN: 978-3-319-38945-5
eBook Packages: Mathematics and StatisticsMathematics and Statistics (R0)