Die durch n Punkte der Ebene bestimmte Menge von Abständen

Zusammenfassung

Eine Menge von n Punkten der Ebene bestimmt insgesamt ($\left( {\mathop 2\limits^n } \right)$) Abstände. Vielleicht sind sie alle gleich oder alle verschieden. Tatsächlich aber ist beides weit von den tatsächlichen Verhältnissen entfernt. Zum Beispiel gibt es unter den 91 von 14 Punkten bestimmten Abständen mindestens 4 verschiedene; der größtmögliche Abstand kommt nicht öfter als 14 Mal vor, der kleinstmögliche nicht öfter als 36 Mal; kein Abstand aber kann öfter als 40 Mal auftreten. Wir werden zeigen, daß für n Punkte der Ebene (n = 3, 4, 5, 6 ...) gilt:

• (i) Es gibt mindestens $\sqrt {n - \frac{3} {4} - \frac{1} {2}}$ verschiedene Abstände

• (ii) Der Minimalabstand kann höchstens 3 n − 6 Mal auftreten

• (iii) Der Maximalabstand tritt höchstens n Mal auf

• (iv) Kein Abstand tritt öfter oder gleich oft wie $\frac{{n^{3/2} }} {{\sqrt 2 }} + \frac{n} {4}$ Mal auf.