Das Kontinuum

Zusammenfassung

Die Menge aller reellen Zahlen 1R bezeichnet man auch als das Kontinuum. Da diese Menge in der Mathematik eine ganz fundamentale Rolle spielt, ist verständlich, daß auch die Frage nach der Mächtigkeit des Kontinuums große Bedeutung hat. Man nennt dieses Problem das (spezielle) Kontinuumsproblem. Man kann nun zeigen, daß das Kontinuum mit der Potenzmenge der natürlichen Zahlen P(ω) gleichmächtig ist. Hieraus ergibt sich dann $\mathbb{R} = \overline{\overline {P\left( \omega \right)}} = {{2}^{{{{\aleph }_{0}}}}}$. Das Kontinuumsproblem ist daher gleichbedeutend mit der Frage, welchen Platz ${2^{{\aleph _0}}}$ in der Aleph-Folge einnimmt. Aufgrund des bisher von uns Bewiesenen läßt sich nur sagen, daß ${2^{{\aleph _0}}} > {\aleph _0}$ ist. Cantor äußerte schon im Jahre 1878 die Vermutung, daß ${2^{{\aleph _0}}} = {\aleph _1}$ sei. Dies bezeichnet man als die (spezielle) Kontinuumshypothese.