Test- und Schätzprobleme als Optimierungsaufgaben

Zusammenfassung

Betrachtet wird das Testen zweier Hypothesen H und K. Abgesehen von letztlich uninteressanten Situationen ist es nicht möglich, die Forderung der Minimierung der Fehler-WS 1. Art und 2. Art simultan zu erreichen. Wie bereits in 1.2.3 bzw. 1.3.1 erwähnt, wendet man deshalb auf das an sich vollkommen symmetrische Zweientscheidungsproblem häufig die folgende unsymmetrische Behandlung an: Unter allen Tests, deren Fehler-WS 1.Art durch eine vorgegebene Irrtums-WS α ∈ (0,1) beschränkt ist, sucht man einen solchen Test zu bestimmen, der die Fehler-WS 2. Art gleichmäßig minimiert. In 2.1.1 wird gezeigt, daß diese auf J.Neyman und E.S.Pearson zurückgehende Vorgehensweise häufig durch die zugrundeliegende praktische Problemstellung gerechtfertigt ist. Zugleich werden einige in der praktischen Statistik gebräuchliche Sprech weisen eingeführt. In 2.1.2 wird das Grundproblem der Testtheorie, nämlich das Testen zweier einfacher Hypothesen in der Neyman-Pearson-Präzisierung behandelt. Dessen Lösung ermöglicht später die explizite Angabe optimaler Tests für eine Reihe zusammengesetzter einseitiger Hypothesen. In 2.1.3 werden -weitgehend noch auf einer heuristischen Basis — einige Standardtests unter Normalverteilungsannahmen eingeführt. Schließlich werden in 2.1.4 die Separabilitätsaussagen aus 1.6.6 zum Nachweis der Existenz optimaler Tests bei einigen Testproblemen mit zusammengesetzten Hypothesen herangezogen. (Die mathematische Behandlung der Bayes- und Minimax-Tests im Sinne von 1.4.2 wird dagegen erst in 2.3.1 bzw. 2.5.3 erfolgen.)