Kontraktive und nichtexpansive Operatoren

Zusammenfassung

Einer der Schwerpunkte der nichtlinearen Funktionalanalysis liegt bei der Frage nach der Existenz von Fixpunkten von Operatoren T in einer Menge S, d.h., von Lösungen von Aufgaben der Gestalt x=Tx. Dies ist einleuchtend, wenn man sich überlegt, daß jedes Problem der allgemeinen Form Au=v auf S in eine derartige Fixpunktgleichung überführt. werden kann. Man zieht dazu eine injektive Abbildung M: R(A)→S heran und sieht, daß Au=v hinsichtlich der Existenz von Lösungen äquivalent ist zu x=Tx mit Tx=x−M(Ax)+Mv,x∈S. Ein zusätzlicher Vorteil dieser Vorgehensweise besteht darin, daß das zu A gehörige T durch geeignete Wahl von M den jeweiligen Voraussetzungen von zur Verfügung stehenden Fixpunktsätzen angepaßt werden kann.