Wegintegrale

Zusammenfassung

Gemäß der in Nr. 161 gegebenen Definition verstehen wir unter einem Weg γ im R^p eine stetige Abbildung γ: [a, b] → R^p. Der zu γ gehörende Bogen Г oder genauer Г _γ , ist die Punktmenge {γ(t): t ∈ [a, b]}¹⁾. Bewegungen von Massenpunkten im R² oder R³ lassen sich durch Wege γ beschreiben: γ(t) bezeichnet den Ort, an dem sich der Massenpunkt zur Zeit t befindet. Wir beschäftigen uns in dieser Nummer mit der Frage, wie man die Länge des Weges, den ein Massenpunkt in einem gewissen Zeitintervall zurücklegt, angemessen definieren und berechnen kann. Gerade vom Standpunkt der Anwendungen ist die (noch nicht erklärte) Weglänge gewöhnlich interessanter als die (ebenfalls noch nicht erklärte) Länge des zugehörigen Bogens. Ganz grob gesprochen: Wer mit der Bundesbahn auf der linksrheinischen Strecke von Köln nach Mannheim fährt, dann zurück nach Mainz und von dort (über Mannheim) nach Basel, hat denselben Bogen beschrieben wie ein anderer, der „direkt“ von Köln nach Basel reist, der erstere hat aber einen längeren Weg zurückgelegt als der zweite — und das ist, was Zeit- und Geldverbrauch anbetrifft, ein nicht unerhebliches Faktum.

Die da auf Straßen gehen sollten, die wandelten durch krumme Wege.

Buch der Richter 5,6

Mein Beruf und mein Brauch ist, ... alles Krumme gerade zu machen [zu rektifizieren].

Don Quichotte, Ritter von der traurigen Gestalt