Gesetze der Großen Zahlen

Zusammenfassung

Für eine Folge von Zufallsvariablen {X _k }_k∈ℕ in L¹ mit E[X _k ] = μ für alle k ∈ ℕ gilt aufgrund der Linearität des Erwartungswertes

$$ E \left[ \frac{1}{n} \sum^{n}_{k=1} X_{k} \right] = \mu $$

Wir untersuchen in diesem Kapitel die Frage, unter welchen Bedingungen und für welchen Konvergenzbegriff für eine derartige Folge

$$ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} \sum^{n}_{k=1} X_{k} = \mu $$

gilt.

Wir geben zunächst hinreichende Bedingungen dafür an, dass für eine solche Folge die Folge $\{n^{-1} \sum^{n}_{k=1} X_{k} \}$ stochastisch (Abschnitt 15.1) oder fast sicher (Abschnitt 15.2) gegen μ konvergiert; die entsprechenden Konvergenzsätze werden als schwache bzw. starke Gesetze der Großen Zahlen bezeichnet. Die Gesetze der Großen Zahlen und der aus ihnen abgeleitete Satz von Glivenko/Cantelli (Abschnitt 15.3) bilden eine wesentliche Grundlage der Statistik. Als eine weitere Anwendung des starken Gesetzes der Großen Zahlen behandeln wir Irrfahrten (Abschnitt 15.4).