Skalarwertige Funktionen in zwei Veränderlichen

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt untersuchen wir Funktionen in zwei Veränderlichen mit Hilfe der Differentialrechnung. Insbesondere bestimmen wir geometrische Objekte wie Tangenten und Tangentialebenen an den Graphen, Maxima und Minima, sowie lineare und quadratische Approximationen. Die Einschränkung auf zwei Veränderliche treffen wir aus rein didaktischen Gründen. Alle Überlegungen dieses sowie des nächsten Abschnitts lassen sich (mit etwas höherem Notationsaufwand) leicht auf den Fall von n Veränderlichen erweitern.

Wir studieren hier zunächst den Graphen einer Funktion mittels Schnittkurven und Niveaulinien. Als weitere Hilfsmittel betrachten wir die partielle Ableitungen, welche die Änderung der Funktion in Richtung der Koordinatenachsen beschreiben. Der Begriff der totalen Ableitung erlaubt uns schließlich, die Tangentialebene an den Graphen zu definieren. Wie bei Funktionen in einer Veränderlichen hat auch hier die Taylorformel eine zentrale Bedeutung. Wir verwenden sie, um Extrema von Funktionen in zwei Veränderlichen zu untersuchen.

Im ganzen Kapitel bezeichnet D eine Teilmenge des ℝ² und

$$ f : D \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} : (x,y) \mapsto z = f (x,y) $$

eine skalarwertige Funktion in zwei Veränderlichen. Details zu der in diesem Abschnitt verwendeten Vektor- und Matrizenrechnung findet man in den Anhängen A und B.