Konvergenz von Maßen

Zusammenfassung

In der Wahrscheinlichkeitstheorie interessiert man sich für Verteilungen, die durch das Zusammenwirken vieler zufälliger Einflüsse zustandekommen. Oftmals lässt sich eine brauchbare Idealisierung erreichen, indem man Grenzwerte solcher Verteilungen anschaut, zum Beispiel, wenn die Anzahl der Einflüsse nach Unendlich geht. Ein Beispiel ist die Konvergenz der Anzahl eingetretener Ereignisse bei vielen seltenen Ereignissen gegen die Poisson-Verteilung (siehe Satz 3.7). Vielfach sind aber auch Skalierungen der ursprünglichen Verteilung notwendig, um das wesentliche Fluktuationsverhalten zu erfassen, etwa im Zentralen Grenzwertsatz. Während diese Sätze mit reellen Zufallsvariablen auskommen, werden wir auch Grenzwertsätze kennen lernen, bei denen die Zufallsvariablen Werte in allgemeineren Räumen annehmen, beispielsweise im Raum aller stetigen Funktionen, wenn wir die zufällige zeitliche Bewegung eines Teilchens modellieren.

In diesem Kapitel wird der Begriff der schwachen Konvergenz von W-Maßen auf allgemeinen (meist polnischen) Räumen eingeführt und untersucht. Hierzu ist eine solide Kenntnis von mengentheoretischer Topologie notwendig. Wir beginnen das Kapitel daher mit einem kurzen Überblick über die verwendeten topologischen Begriffe und Sätze.