Differentialgeometrie der konvexen Kurven und Flächen

Zusammenfassung

Über die Krümmungsverhältnisse konvexer Kurven lassen sich auch ohne Differentiierbarkeitsvoraussetzungen weitgehende Aussagen machen. Man betrachte einen Kurvenpunkt P und eine durch ihn gehende Stützgerade s. Unter den Schmiegungskreisen der Kurve im „Element“ (P, s) werden die Grenzlagen (oder die Grenzlage) derjenigen Kreise verstanden, die s in P berühren und außerdem durch einen weiteren, gegen P konvergierenden Kurvenpunkt gehen. Hierbei sind, wie auch im folgenden, die Punkte und Geraden als Kreise vom Radius 0 bzw. ∞ zuzulassen. Die Krümmungskreise der Kurve in (P, s) sind die Grenzlagen (oder die Grenzlage) derjenigen Kreise durch P, deren Mittelpunkte die Schnittpunkte der Normalen von s in P und der Normalen einer gegen (P, s) konvergierenden Folge von Elementen sind. Die zu einem Element gehörigen Schmiegungs- und Krümmungsradien erfüllen je ein Intervall, und zwar ist das Intervall der Schmiegungsradien in dem der Krümmungsradien enthalten; mit anderen Worten, jeder Schmiegungskreis ist zugleich Krümmungskreis, jedoch nicht umgekehrt. Es gilt aber folgendes: Gibt es zu einem Element nur einen Schmiegungskreis, so gibt es auch nur einen Krümmungskreis, und beide fallen zusammen. Die Umkehrung hiervon folgt aus dem Gesagten. Der Fall der eindeutigen Bestimmtheit von Schmiegungs- und Krümmungskreis ist der allgemeine; genauer: Die Elemente, zu denen es mehrere Krümmungskreise gibt, bilden eine Nullmenge in dem Sinne, daß sowohl die Punkte bezüglich der Bogenlänge, als die Stützgeraden bezüglich der Richtung Nullmengen sind. Dies kann aus dem LEBESGUE schen Satz gefolgert werden, daß die Funktionen mit beschränktem Differenzenquotienten bis auf eine Nullmenge differentiierbar sind.—Die obere (untere) Grenze aller Schmiegungsradien aller Elemente einer konvexen Kurve stimmt mit der oberen (unteren) Grenze aller Krümmungsradien überein.—Die obigen Begriffsbildungen gehen im wesentlichen auf Hjelmslev