Der Riemannsche Abbildungssatz

Zusammenfassung

Nach den Untersuchungen über die linearen Abbildungen, die Automorphismen und die inneren Abbildungen liegt es nahe zu fragen, unter welchen Bedingungen zwei Gebiete aufeinander eineindeutig und konform abgebildet werden können. Liegt die Möglichkeit einer solchen Abbildung vor, so lassen sich auf Grund der vorangegangenen Untersuchungen weitgehende Aussagen über die Struktur der inneren Abbildungen und Automorphismen des einen Gebietes machen, wenn die des anderen bekannt sind. Über diese Möglichkeit werden wir nun eine Reihe sehr übersichtlicher und interessanter Resultate gewinnen. Fragen wir zunachst einmal, wann sich Gebiete sicher nicht so aufeinander abbilden lassen. Da eine eineindeutige und konforme Abbildung immer auch topologisch ist, so ist die Abbildung von zwei Gebieten aufeinander nicht möglich, wenn diese verschieden zusammenhängend sind (s. I, 6). So ist ein einfach zusammenhängendes Gebiet nicht auf ein mehrfach zusammenhängendes Gebiet topologisch abbildbar. Ferner ist aus topologischen Gründen die kompakte Ebene auf kein anderes Gebiet topologisch abbildbar, da sie das einzige einfach zusammenhängende kompakte Gebiet ist und die Kompaktheit wegen der eineindeutigen und stetigen Abbildung eine topologische Invariante ist.