Zusammenfassung
Als erste Gruppe von Input-Output-Modellen behandeln wir im folgenden statische Modelle, d. h. solche, in denen die Zeit nicht explizite berücksichtigt wird. Es ist allerdings nicht so, daß in statischen Theorien die Zeit überhaupt keine Rolle spielt. Die Erläuterung der empirischen Grundlagen der Input-Output-Theorie zeigte bereits, daß die Strömungsgrößen in statischen Input-Output-Modellen die Dimension „pro Zeiteinheit“ haben und somit von der Länge des Zeitraums abhängen, für den die Input-Output-Tabelle aufgestellt wird. Wir werden ferner sehen, daß der Zeitaspekt nicht völlig vernachlässigt werden kann, wenn wir verschiedene Annahmen über die Mobilität der primären Produktionsfaktoren zwischen den verschiedenen Industriezweigen diskutieren.
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Literatur
Die ersten Publikationen zum statistischen offenen Modell sind die folgenden: W. W. Leontief [2], S. 290 ff.; W. W. Leontief [4], S. 171 ff.; W. W. Leontief [3], S. 26 ff.; diese Aufsätze sind in der zweiten Auflage von W. W. Leontief [5], Teil IV, als Abschnitte A, B und C wieder abgedruckt.
Das Modell wird unter vorwiegend ökonomischen Aspekten beispielsweise diskutiert in R. Dorfman, S. 121 ff.; O. Eckstein in: O. Morgenstern (ed.), S. 43 ff.; W. D. Evans, M. Hoffenberg [2] in: National Bureau of Economic Research [1], besonders S. 63 ff. Mehr die formalen Aspekte des Modells betonen beispielsweise M. Woodbury [1] in: O. Morgenstern (ed.), S. 341 ff.; L. McKenzie [1], S. 456 ff.; H. J. Jaksch [1], § 3; D. Gale, Kapitel 9. Weitere Darstellungen sind zu finden bei H. M. Smith in T. C. Koopmans (ed.) [1], Kapitel VI; H. Platt, S. 28ff.; W. Krelle [1], S. 110.
Hier sind etwa zu nennen R. Dorfman, P. A. Samuelson, R. M. Solow, Kapitel 9 und 10; H. B. Chenery, P. G. Clark, S. 22 ff. An formalen Problemen werden in der letztgenannten Arbeit allerdings hauptsächlich Lösungsmethoden behandelt.
In jedem der drei Teile unserer Untersuchung beginnen wir die Numerierung der Gleichungen neu. Verwechslungen werden dadurch ausgeschaltet, daß wir Verweisungen auf Gleichungsnummern in anderen Teilen vermeiden.
Die Gleichungen (1.1.1) sind Definitionen und müssen immer erfüllt sein, gleichgültig, ob sich die betrachtete Wirtschaft in dem durch die Lösung des Modells beschriebenen Gleichgewicht befindet oder nicht. Ein Ungleichgewicht würde sich in unbeabsichtigten Lagerinvestitionen äußern, die in den Größen Ii enthalten sind.
Es bereitet keinerlei Schwierigkeiten, an Stelle von (1.1.2) eine Hypothese Xij = aijXj + Cij zu berücksichtigen, wobei cij eine gewissen Fixkosten entsprechende Menge des Gutes i ist, die als laufender Input in der Industrie j unabhängig von der Produktionsmenge dieser Industrie verbraucht wird. Vgl. dazu etwa W. W. Leontief [13] in: T. Barna (ed.) [1], S. 48; W. D. Evans, M. Hoffenberg [2] in: National Bureau of Economic Research [1], S. 64; H. Platt, S. 60ff. Die Parameter aij und cij könnten dann allerdings nicht mehr mit Hilfe einer “single point estimation” aus der Tabelle eines einzigen Jahres ermittelt werden; vgl. dazu Kapitel II des ersten Teils.
An Stelle der Xj könnten auch beliebige n Größen aus der Gesamtheit der 2n Größen Xj und Fi als Unbekannte gewählt werden. Vgl. z. B. W. W. Leontief [13] in: T. Barna (ed.) [1], S. 45.
Vgl. zu dieser Vorstellung etwa E. v. Böhm-Bawerk, S. 143 f.; C. Menger, S. 21 ff.; H. v. Stackelberg, S. 5; E. Schneider, S. 5 ff.
Es ist allerdings daraufhinzuweisen, daß die Produktionsstufen in der älteren Theorie in erster Linie als Zeitstufen und nicht unbedingt als hintereinandergeschaltete Industriezweige aufgefaßt wurden. Vgl. dazu die Hinweise bei E. Helmstädter [1], S. 175.
Die Matrix A kann also durchaus eine Determinante von Null haben. Vgl. dazu aber die Voraussetzungen über die Matrix (E-A) in der Diskussion S. 40ff.
Vgl. R. Dorfman, P. A. Samuelson, R. M. Solow, S. 205.
Zum Problem der Dreiecksmatrizen vgl. H. Aujac, S. 169 ff.; E. Helmstädter [1], S. 173 ff. u. S. 427 ff. Eine Methode zur bestmöglichen Triangulation wird entwickelt in E. Helmstädter [3], S. 322 ff. Vgl. auch die vorangegangene Diskussion: H. J. Jaksch, H. König [1], S. 400 ff., dazu die Replik von Helmstädter [2], S. 146 ff. und die Erwiderung von Jaksch und König [2], S. 56 ff.
Die auf S. 49 f. zu behandelnde Gauß-Seidel-Iteration liefert schon in den ersten Runden eine um so bessere Annäherung, je besser die Triangulation ist; vgl. H. B. Chenery, P. G. Clark, S. 46; E. Helmstädter [3], S. 327 f.
Ein Beispiel eines internationalen Vergleichs geben H. B. Chenery, T. Watanabe, S. 487 ff.
Mit Existenz einer Lösung meinen wir im folgenden immer Existenz einer eindeutigen Lösung. Nur diese ist gleichbedeutend mit Existenz der inversen Matrix.
Vgl. Lemma 11 in K. J. Arrow in: T. C. Koopmans (ed.) [1], S. 163 f.; ebenso L. McKenzie [1], S. 456; H. J. Jaksch [1], S. 25 f.
Vgl. D. Hawkins, H. A. Simon, S. 245 ff. Genaugenommen setzen diese Autoren voraus, daß die Koeffizienten strikt größer als Null sind:aij > 0. Wenn alle Hauptminoren von (E-A) positiv sind, gilt dann auch x > o. Läßt man Nullkoeffizienten zu, so können auch Produktionsmengen von Null vorkommen.
Vgl. R. Dorfman, P. A. Samuelson, R. M. Solow, S. 215.
Vgl. dazu R. M. Solow [1], S. 30 f. Nähere Erläuterungen über Lösungen dynamischer Modelle geben wir im dritten Teil.
Vgl. in diesem Zusammenhang auch F. V. Waugh, S. 142 ff.; W. J. Berger, E. Saibel, S. 154 ff.
L. A. Metzler, S. 329 ff.
Vgl. z. B. R. M. Solow [1], S. 32; M. A. Woodbury [1] in: O. Morgenstern (ed.), S. 347; J. Schumann [1], S. 61 f.
Wir beziehen die mathematischen Begriffe der Zerlegbarkeit und der geschlossenen Gruppe hier unmittelbar auf das Input-Output-Modell. Sie entstammen der Theorie der Markoffschen Ketten. Vgl. dazu etwa W. Feller, S. 419 ff. Aus der wirtschaftswissenschaftlichen Literatur vgl. R. M. Solow [1], S. 33 ff.; M. Woodbury [1] in: O. Morgenstern (ed.), S. 349 ff.; R. Dorfman, P. A. Samuelson, R. M. Solow, S. 254 ff.
Vgl. R. M. Solow [1], S. 36.
Vgl. zum Folgenden R. M. Solow [1], S. 33ff.; M. Woodbury [1] in: O. Morgenstern (ed.), S. 357 ff.; R. Dorfman, P. A. Samuelson, R. M. Solow. S. 257 ff.
Vgl. zur Lösung von linearen Gleichungssystemen allgemein: P. S. Dwyer, speziell zur Lösung von Input-Output-Modellen: W. D. Evans in: T. Barna (ed.) [1], Kapitel 3; H. B. Chenery, P. G. Clark, S. 25 ff., S. 45 ff.
Vgl. zum Folgenden W. D. Evans in: T. Barna (ed.) [1], S. 63 ff.
Die Zahlen gleichen also in etwa jenen, die wir bei der Weiterführung bis t = 5 erhielten. Es läßt sich zeigen, daß die Zahlen sämtlich der größten positiven Wurzel der Matrix A zustreben. Vgl. W. D. Evans in: T. Barna (ed.) [1], S. 65 f.
Vgl. dazu P. S. Dwyer, Kapitel 13 u. 14.
Vgl. hierzu und zum Folgenden W. D. Evans in: T. Barna (ed.) [1], S. 78.
Zuweilen wird die Proportionalität nur für den Faktor „Arbeit“ angenommen, während andere primäre Faktoren nicht explizite in die Untersuchung aufgenommen werden; vgl. etwa W. W. Leontief [5], S. 144; H. Platt, S. 40; H. J. Jaksch [1], S. 27. Andererseits werden aber bereits bei W. W. Leontief [5], S. 190 f., ähnliche Rechenmöglichkeiten auch für solche primären Inputs angedeutet, die “non-wage income” beziehen. In Arbeiten wie H. B. Chenery, P. G. Clark, S. 58 ff., und W. Krelle [1], S. 111, wird die Proportionalitätsannahme generell für jeden primären Input gemacht.
Vgl. zu dieser Schreibweise etwa R. Dorfman, P. A. Samuelson, R. M. Solow, S. 209.
Eine ausführliche Interpretation der Beziehungen zwischen Endnachfrage und Faktoreinsatz geben R. Dorfman, P. A. Samuelson, R. M. Solow, S. 232 ff.
Tabellen ähnlichen Inhalts finden sich in H. B. Chenery, P. G. Clark, S. 59.
Auf den Fall, daß nur „Arbeit“ als einer von mehreren zur Wertschöpfung beitragenden primären Faktoren berücksichtigt wird, kommen wir bei der Erörterung des sog. Substitutionstheorems in Kapitel III dieses Teils, Abschnitt 2., zurück. Die Interpretation von Ein-Faktor-Systemen in dem Sinne, daß die primären Inputs dieses Faktors aus der gesamten Wertschöpfung bestehen, findet sich z. B. bei R. Dorfman, P. A. Samulson, R. M. Solow, S. 237.
Vgl. dazu etwa R. Dorfman, P. A. Samuelson, R. M. Solow, S. 212.
Vgl. dazu H. B. Chenery, P. G. Clark, S. 60.
Während Leontief die Möglichkeit, mit Preissystemen des im folgenden dargestellten Typs die wirkliche Preisbildung zu erfassen, als gegeben zu beurteilen scheint, weisen andere Autoren mit Nachdruck auf Einschränkungen hin. Vgl. W. W. Leontief [5], besonders die empirischen Anwendungen S. 192 ff.; O. Eckstein [1] in: O. Morgenstern (ed.), S. 75 f.; W. D. Evans, M. Hoffenberg [2] in: National Bureau of Economic-Research [1], S. 98ff.; H. B. Chenery, P. G. Clark, S. 60; W. Krelle [1], S. 117f.
Diese Bedingung sagt nichts darüber aus, ob alle die in einem Industriezweig zusammengefaßten Wirtschaftseinheiten gewinnlos produzieren oder ob sich Gewinne und Verluste gerade die Waage halten. Nullgewinne auch im mikroökonomischen Bereich müssen dann vorliegen, wenn alle Wirtschaftseinheiten ein einheitliches Produkt mit der gleichen Inputstruktur erzeugen. In diesem Fall ist es nämlich gleichgültig, wie sich die Produktion der gesamten Industrie auf die einzelnen Wirtschaftseinheiten verteilt; der Gewinn jeder Wirtschaftseinheit ist genau bei den Preisen Null, bei denen auch der Gewinn der gesamten Industrie Null ist.
Darstellungen von Preissystemen zum offenen Input-Output-Modell finden sich in der Literatur, die in der vorletzten Fußnote angegeben wurde, ferner in W. W. Leontief [8] in: Netherlands Economic Institute (ed.), S. 20 f.; P. N. Rasmussen, Kapitel 4; R. Dorfman, P. A. Samuelson, R. M. Solow, S. 227 ff. u. S. 234 ff.; I. Yamada, Kapitel 1.
Eine Interpretation der Voraussetzung, daß sich die Gewinne der Industriezweige proportional zu ihren Outputs verhalten, gibt W. Krelle [1], S. 118: Es muß u. a. „volle und gleiche Überwälzbarkeit erhöhter Lohnkosten“ in allen Industrien gewährleistet sein, „was wieder ein elastisches Banksystem und einigermaßen gleiche Marktformen“ in allen Zweigen voraussetzt. Dies verdeutlicht, daß die Annahme nicht residual bestimmter Gewinne zur Bestimmung eines Systems von Schattenpreisen problematisch ist.
Die Konzeption des geschlossenen Modells findet sich bereits in W. W. Leontief [1], S. 109 ff. Dieser Artikel bildet die theoretische Grundlage von W. W. Leontief [5], 1. Auflage 1941, Teil IL (Erst die 2. Auflage von 1951 enthält im Teil IV das offene Modell.)
Vgl. R. Dorfman, S. 127.
Darstellungen zum geschlossenen Modell geben auch H. Platt, S. 19 ff.; R. Dorfman, P. A. Samuelson, R. M. Solow, S. 245ff.; W. Krellf [1]. S. 119f.
Vgl. etwa W. W. Leontief [5], besonders S. 41 f.; W. W. Leontief [13] in: T. Barna (ed.) [1], S. 47; R. Dorfman, P. A. Samuelson, R. M. Solow, S. 245 f.
Das geschlossene Input-Output-Modell entspricht in dieser Hinsicht dem Fall, daß nur ein primärer Produktionsfaktor existiert; vgl. S. 57ff.
Vgl. M. A. Woodbury [1] in: O. Morgenstern (ed.), S. 352. Dort wird die Aussage nur für den Fall bewiesen, daß A unzerlegbar ist. In einer Fußnote findet sich jedoch ein Hinweis des Herausgebers auf eine Arbeit, in der die Aussage auch ohne die Voraussetzung der Unzerlegbarkeit bewiesen wird: Y. K. Wong, S. 236.
Auch das Preismodell zum geschlossenen Modell geht auf Leontief zurück. Vgl. W. W. Leontief [1], S. 109 ff.; W. W. Leontief [5], besonders S. 45 ff.
Empirische Untersuchungen können u. U. einen negativen Achsenabschnitt gi der Konsumfunktion ergeben. Da negative Konsummengen selbst bei einem Einkommen von Null ökonomisch sinnlos wären, deuten negative Achsenabschnitte an, daß die empirisch ermittelte Funktion eine lineare Approximation eines begrenzten Bereichs einer in Wirklichkeit nichtlinearen Funktion darstellt. Vgl. dazu auch E. Gilboy in T. Barna (ed.) [1], S. 401. Da wir nichtlineare Funktionen hier ausschließen, können wir von gi ≧ 0 ausgehen.
Vgl. J. M. Keynes, Buch III.
Es wäre wünschenswert, wenn in den Funktionen als Bestimmungsgründe des Konsums auch die Preise berücksichtigt werden könnten, doch würde dies ein Input-Output-Modell erheblich komplizieren. Arbeiten über den Zusammenhang zwischen Konsum, Einkommen und Preisen, die einen der Input-Output-Analyse vergleichbaren Aggregationsgrad zugrundelegen, sind beispielsweise R. Stone [2] in: T. Barna (ed.) [1], Kapitel 21; J. S. Duesenberry, H. Kistin in W. W. Leontief et al. [16], Kapitel 12.
Vgl. auch die bei J. Schumann [1], S. 31, Fußnote 31, angegebene Literatur.
Negatives vj würde nach (2.2.8) bedeuten, daß die Spaltensumme j von A größer als eins ist. Diese Möglichkeit hatten wir auch schon früher aus der Betrachtung ausgeklammert; vgl. S.44, Fußnote 79.
Diese Hypothesen sind schon für die klassische Nationalökonomie sowie für Theorien in der Marxschen Tradition kennzeichnend und tauchen vor allem in modernen Verteilungstheorien immer wieder auf. Dies wird beispielsweise an zahlreichen Stellen der zusammenfassenden Arbeiten von I. Adelman und W. Krelle [2] deutlich.
Vgl. W. W. Leontief [5], S. 39 ff.; W. W. Leontief [14], S. 345.
Ein solches Modell wurde erstmals ausführlich diskutiert in N. Georgescu-Roegen [3] in: T. C. Koopmans (ed.) [1], S. 165 ff.; weitere Literaturangaben im Kapitel III dieses Teils.
Vgl. z. B. H. B. Chenery, P. G. Clark, S. 128 f.; W. Krelle [1], S. 121.
Ein Indiz für das Zutreffen dieser Auffassung enthält die Arbeit von B. Cameron, S. 62 ff., in der für australische Daten die Hypothese konstanter Inputkoeffizienten für den Materialeinsatz gute, für den Arbeitseinsatz dagegen schlechte Ergebnisse lieferte.
Vgl. L. Johansen, besonders S. 41.
Vgl. K. J. Arrow, H. B. Chenery, B. S. Minhas, R. M. Solow, S. 225 ff. Die empirische Arbeit zu dieser Studie wurde im Rahmen des Stanford Project for Quantitative Research in Economic Development hauptsächlich von Minhas geleistet. Die mathematische Ableitung der Funktion auf Grund der empirisch festgestellten Zusammenhänge geht vor allem auf Arrow und Solow zurück. Eine Funktion mit gleichen Eigenschaften findet sich bereits in einer Fußnote bei H. D. Dickinson, S. 169; vgl. dazu auch K. J. Whitaker, S. 166 f. Sie wurde ferner bereits verwendet bei R. M. Solow [2], S. 77, und bei T. W. Swan, S. 334 ff. Unabhängig davon wurde die Produktionsfunktion auch formuliert in M. Brown, J. S. de Cani, S. 289 ff.
Tatsächlich gab es auch bereits einen Plan, solche Funktionen im Zusammenhang mit der empirischen Anwendung eines Input-Output-Modells zu benutzen, der offenbar daran scheiterte, daß es sich um ein dynamisches Modell handelte. Vgl. zu dem Plan: R. Stone (ed.) [3], S. 32; zu seiner Aufgabe: R. Stone (ed.) [4], S. 33 f. Auf die besonderen Probleme bei der Verwendung solcher Funktionen in dynamischen Input-Output-Modellen gehen wir im dritten Teil ein.
Inzwischen wurde die Produktionsfunktion auch noch verallgemeinert, insbesondere auf den Fall beliebig vieler Produktionsfaktoren. Vgl. dazu H. Uzawa [2], S. 291 ff.; D. McFadden, S. 73 ff.; V. Mukerji [1], S. 233 ff.
Einige Autoren, die Produktionsfunktionen vom Arrow-Solow-Typ beschreiben, identifizieren Vj ohne Kommentar mit der Produktionsmenge Xj, ignorieren also die Bedeutung der laufenden Inputs für das Produktionsergebnis. Vgl. E. Helmstädter [4], S, 178; W. W. Leontief [14], S. 336.
Bei der Bestimmung der Koeffizienten von Produktionsfunktionen versucht man daher zuweilen, ganz ohne empirische Daten über den Produktionsfaktor „Kapital“ auszukommen. So beispielsweise L. Johansen, S. 70, bei der Schätzung von Exponenten der Produktionsfunktionen vom Cobb-Douglas-Typ. Auch in K. J. Arrow, H. B. Chenery, B. S. Minhas, R. M. Solow werden zur Schätzung der Parameter von Funktionen des Arrow-Solow-Typs keine Daten über Kapitalbestände verwendet. Vgl. dazu auch B. S. Minhas, Kapitel 2. Kritik an diesem Verfahren wird geübt in W. W. Leontief [14], S. 339 f. u. S. 344.
Vgl. zu diesem Begriff R. G. D. Allen, S. 340 ff., deutsche Übersetzung: S. 353 ff.; E. Helmstädter [4], Anhang S. 191 ff.
Die Beweisführung zu b) und c) erfolgt in Anlehnung an Sätze aus der Theorie der Mittelwerte, die dargestellt sind bei H. G. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya, besonders S. 15. Der Beweis zu b) findet sich ähnlich auch bei A. A. Walters, S. 7.
Dies gilt nur, wenn beide Faktorbestände in gleichen Einheiten gemessen werden. Da wir in dieser Arbeit als Einheiten jene Mengen verwenden, die für eine Währungseinheit erhältlich sind, trifft die Aussage zu. Andernfalls hängen die Koeffizienten auch von der Wahl der Mengeneinheiten ab.
Vgl. hierzu auch E. Helmstädter [4], S. 185 f.
K. J. Arrow, H. B. Chenery, B. S. Minhas, R. M. Solow, Tabelle 2, S. 227.
Vgl. dazu die Forderung bei A. A. Walters, S. 39.
Vgl. H. B. Chenery, P. G. Clark, S. 92ff. Dort wird das Modell nur anhand eines Beispiels für zwei Industrien entwickelt. Zu den allgemeinen Problemen der Verknüpfung von statischer Input-Output-Analyse und (vorzugsweise linearer) Programmierung, insbesondere auch hinsichtlich der Entwicklung wirtschaftlich rückständiger Länder, vgl. auch H. B. Chenery [3], S. 40ff.; H. B. Chenery, K. Kretschmer, S. 365ff.; H. B. Chenery, H. Uzawa in: K. J. Arrow, L. Hurwicz, H. Uzawa (eds.), Kap. 13; H. B. Chenery [2] in: T. Barna (ed.) [3], Kap. 1. Als weiteres Beispiel einer Kombination von statischer Input-Output-Analyse und linearer Programmierung vgl. J. Sandee [2], besonders S. 10ff. Probleme der Anwendung des linearen Programmierens werden auch im Zusammenhang mit verallgemeinerten Input-Output-Modellen diskutiert; vgl. dazu die in Abschnitt 2. dieses Kapitels angegebene Literatur.
Die Möglichkeiten, volkswirtschaftliche Zielfunktionen nach den Vorstellungen der für die Wirtschaftspolitik verantwortlichen Personen festzustellen, müssen keinesfalls pessimistisch beurteilt werden. Die Koeffizientenermittlung erfolgt dabei nicht nach den üblichen Methoden aus vorhandenen statistischen Daten, sondern durch Interviews, in denen die Wirtschaftspolitiker verschiedene hypothetische Konstellationen der relevanten Größen in eine Rangordnung zu bringen haben. Experimente zu diesen Fragen wurden unter der Leitung Frischs im 0konomisk Institut der Universität Oslo, ferner auch im Central Planbureau der Niederlande durchgeführt. Vgl. R. Frisch [1], S. 46f.; R. Frisch [2]; C. J. van Eijk, J. Sandee, S. 1ff.
Eine weitere Zielsetzung, die jedoch nur bei Einbeziehung der Außenwirtschaft berücksichtigt werden könnte, käme etwa in einer positiven Gewichtung eines Außenhandelssaldos zum Ausdruck.
Daß diese Zielsetzung in der Entwicklungsplanung die Hauptrolle spielt, betonen auch H. B. Chenery, P. G. Clark, S. 283.
Erstmals veröffentlicht wurde die Simplexmethode in G. B. Dantzig [1] in: T. C. Koopmans, (ed.) [1], Kapitel XXI.
Die umfassendste Darstellung bietet G. B. Dantzig [3]. Aus der reichhaltigen Literatur vgl. ferner etwa A. Charnes, W. W. Cooper, A. Henderson; W. Krelle, H. P. KÜNZi, Kapitel 3 und 5; S. I. Gass, besonders Kapitel 4; R. Dorfman, P. A. Samuelson, R. M. Solow, Kapitel 4; D. Gale, Kapitel 4; H. C. Joksch, Kapitel 5.
Die Verwendung von Schattenpreisen basiert auf der sog. revidierten Simplexmethode von G. B. Dantzig und W. Orchard-Hays. Vgl. dazu Dantzig [3], Kapitel 9 und 12; S. I. Gass, Kapitel 6; D. Gale, Kapitel 6; vgl.zum Folgenden auch H. B. Chenery, P. G. Clark, S. 116ff. und 130ff.
Vgl. zum Folgenden H. B. Chenery, P. G. Clark, S. 132.
Vgl. etwa W. Krelle, H. P. Künzi, besonders S. 38ff.; S. I. Gass, besonders S. 78f.; R. Dorfman, P. A. Samuelson, R. M. Solow, S. 100ff.; G. B. Dantzig [3], besonders Kapitel 12.
Vgl. dazu auch T. C. Koopmans [5], S. 98f.
Die Konzeption der Prozeßsubstitution findet sich in allgemeinster Form bereits bei J. v. Neumann, S. 73ff.; englische Übersetzung, S. 1ff. Die Produktionstheorie, die darauf aufbaut, wird vor allem entwickelt in T. C. Koopmans [2] und in N. Georgescu-Roegen [1], beide in Koopmans (ed.) [1], Kapitel III und IV. Vgl. auch die geometrische Interpretation bei J. Chipman [2], S. 101 ff.
Statische Input-Output-Modelle, die Prozeßsubstitutionen zulassen und als lineare Programmierungsprobleme formuliert sind, finden sich auch in H. J. Jaksch [1],§§ 4 und 5; W. Krelle [1], S. 120ff.;H.B. Chenery, P. G.Clark, S. 101 ff.; H. König, S. 64 ff.
Vgl. P. A. Samuelson [2], T. C. Koopmans [3], K. J. Arrow [1], N. Georgescu-Roegen [3], sämtlich in: T. C. Koopmans (ed.) [1], Kapitel VII bis X; vgl. ferner T. C. Koopmans [4] in: Netherlands Economic Institute (ed.), S. 99ff.; D. Gale, S. 303ff.
Ähnliche geometrische Darstellungen wie die folgende finden sich bei J. Chipman [2], S. 101 ff.; R. Dorfman, P. A. Samuelson, R. M. Solow, S. 225f.; H. B. Chenery, P. G. Clark, S. 105 ff.
Vgl. auch C. F. Christ in: National Bureau of Economic Research (ed.) [1], S. 142.
Vgl. dazu etwa P. A. Samuelson [1], S. 60f. u. S. 98.
Vgl. z. B. A. W. Tucker, S. 244f.
Einen Überblick über den gegenwärtigen Stand geben H. P. Künzi, W. Krelle. Vgl. auch G. Hadley sowie die Beiträge verschiedener Autoren in K. J. Arrow, L. Hurwicz, H. Uzawa (eds.).
Die Bedingungen wurden erstmals beschrieben in H. W. Kuhn, A. W. Tucker in: J. Neyman (ed.), S. 481ff.
Vgl. H. P. KÜNZi, W. Krelle, S. V.
Vgl. dazu G. Zoutenduk [1], S. 338ff.; G. Zoutendijk [2].
Vgl. außer der früher zitierten Originalarbeit etwa A. W. Tucker, S. 244ff.; R. Dorfman, P. A. Samuelson, R. M. Solow, S. 189ff.; H. Uzawa in: K. J. Arrow, L. Hurwicz, H. Uzawa (eds.), Kapitel 3; H. P. Künzi, W. Krelle, S. 59ff.; G. B. Dantzig [3], Kapitel 24; H. C. Joksch, Kapitel 11.1.1.
Wir orientieren uns im folgenden an H. C. Joksch, Kapitel 11.1.1.
Zur Definition konvexer und konkaver Bereiche und Funktionen vgl. H. P. Künzi, W. Krelle, S. 34 ff.
Vgl. dazu etwa G. Debreu, Theorem 7, S. 298.
Vgl. H. P. KüNZi, W. Krelle, S. 151.
Wir orientieren uns im folgenden an G. Zoutendijk [1], besonders S. 351 ff. Vgl. auch die Darstellung bei H. P. Künzi, W. Krelle, Kapitel 14.
Vor allem durch diese Normierungsvorschrift unterscheiden sich die verschiedenen Gradientenverfahren; vgl. dazu H. P. Künzi, W. Krelle, S. 182. Es gilt dabei allgemein, jene Normierungsvorschrift auszuwählen, die für ein bestimmtes Programmierungsproblem in möglichst wenigen Rechenschritten zur optimalen Lösung führt. Eine besonders günstige Normierung läßt sich meist nur durch Ausprobieren bestimmen. Wir übernehmen hier die eine der beiden von Zoutendijk bei der Behandlung nichtlinearer Nebenbedingungen angegebenen Normierungen; vgl. G. Zoutendijk [1], S. 352.
Es gibt eine Ausnahme, daß σmax = 0 nicht die optimale Lösung anzeigt. Sie ist für praktische Probleme irrelevant. Vgl. dazu G. Zoutendijk [1], S. 352.
Näheres dazu bei G. Zoutendijk [1], S. 352.
Für Konvergenzbeweise vgl. auch G. Zoutendijk [2], S. 75 ff.
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Schumann, J. (1968). Statische Input-Output-Theorie. In: Input-Output-Analyse. Ökonometrie und Unternehmensforschung / Econometrics and Operations Research, vol 10. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-87102-3_3
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