Verbände

Zusammenfassung

Während in der Ordnungstheorie die Teilmengenrelation zum Ausgangspunkt einer Verallgemeinerung dient, sind es in der Verbandstheorie die Verknüpfungseigenschaften der Mengen. Wir definieren: Eine Menge A von Elementen A, B, C, ... heißt ein Verband, wenn in A zwei Verknüpfungen erklärt sind:

• (1v) Jedem Paar A, B von Elementen von A ist eindeutig zugeordnet ein Element C von A, C = A ∪ B (zu lesen „A Bund B“), das Verbindungselement von A und B, ferner ein Element D von A, D = A ∩ B (zu lesen „A Schnitt B”), das Schnittelement von A und B. Dabei sollen die Gesetze gelten:

  • (2v) A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A;

  • (3v) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);

  • (4v) A ∩ (A ∪ B) = A, A ∪ (A ∩ B) = A.

Die Formeln rechts erhält man aus den Formeln links durch Vertauschung von ∪ und ∩; demnach ergibt Vertauschung der beiden Verknüpfungen in einem Verband A wieder einen Verband A*, der der zu A duale Verband genannt wird.

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