Folgen, Reihen und Rekursionen

Zusammenfassung

In den Naturwissenschaften stehen Messergebnisse im Mittelpunkt, die immer als reelle (oder in Spezialfällen auch als rationale oder natürliche) Zahlen darstellbar sind, und natürlich auch die mathematischen Modelle zur Beschreibung solcher Messergebnisse. Diese Messergebnisse hängen in der Regel von Parametern ab, häufig zum Beispiel von der physikalischen Größe „Zeit“: In diesem Fall erhält man eine Zeitreihe. Misst man also eine Messgröße für verschiedene Werte eines solchen Parameters, wie z.B. der Zeit, so erhält man einen Satz Zahlenwerte, der nach den Werten des ausgewählten Parameters geordnet ist. Dieser geordnete Satz Zahlenwerte wird als Zahlenfolge oder auch einfach als Folge bezeichnet. Solche „Folgen“ werden in Abschnitt [2.1] behandelt. Naheliegende Beispiele von Messgrößen, die man als Funktion des Parameters „Zeit“ messen könnte, sind die Temperatur (in Physik oder Chemie), Wirtschaftsdaten (in der Ökonomie), Mondpositionen (in der Astronomie) oder Populationsgrößen (in der Biologie).

Oft ist man an einer Größe interessiert, die man nur indirekt (über ihre Zuwächse zwischen zwei Messungen) bestimmen kann. Als einfaches Beispiel aus der Finanzwelt könnte man an ein Vermögen denken, das als Summe der jährlichen Vermögenszuwächse („Gewinne“) berechnet werden kann. Eine Zahlenfolge, deren Glieder als Summen einzelner Beiträge definiert sind, wird als Reihe bezeichnet. Solche „Reihen“ werden anhand einiger Beispiele in Abschnitt [2.2] diskutiert. Als wichtige Spezialfälle werden unendliche Reihen (Summen unendlich vieler Terme) besprochen sowie Summen, die wir später im Rahmen der Wahrscheinlichkeitsrechnung (in Kapitel [8]) als Erwartungswerte interpretieren werden.

Ein weiterer Spezialfall einer Folge tritt auf, wenn das „nächste“ Glied einer Folge durch die „früheren“ vollständig festgelegt ist und somit aus diesen berechnet werden kann. In diesem Fall erfolgt die Berechnung der Glieder rekursiv, die Berechnungsmethode wird dementsprechend Rekursion genannt, und die Formel, die das „nächste“ Glied mit den „früheren“ verknüpft, heißt Rekursionsbeziehung. Auch solche rekursiv definierten Folgen treten in der Ökonomie („Zinseszinsen“) und der Populationsdynamik („Fibonacci-Folge“, „exponentielles Wachstum“), aber auch in der Physik und der Chemie häufig auf. Sie werden in Abschnitt [2.3] besprochen.