Rubiks Zauberwürfel

Zusammenfassung

Eines der schönsten und schwierigsten Permutationspuzzle ist der von Rubik 1974 erfundene 3 × 3 × 3-Zauberwürfel. Die Schwierigkeit liegt einerseits in der enormen Anzahl von ca. 43 Trillionen Zuständen und andererseits in der Komplexität des Wortproblems aus der kombinatorischen Gruppentheorie. Wir überwinden diese Probleme, indem wir den Zauberwürfel als Permutationsgruppe auf nur 48 Punkten realisieren. Auf diese Weise beantworten wir viele Fragen durch Rechnungen in Kranzprodukten. Ebenso werden die Ergebnisse aus Kapitel 6 eine wichtige Rolle spielen. Im ersten Abschnitt berechnen wir zunächst die genaue Anzahl der Zustände des Zauberswürfels und reduzieren diese Zahl anschließend mittels Burnsides Lemma. Im zweiten Teil untersuchen wir die Elementstruktur der Zauberwürfelgruppe. Durch ein Schubfachargument zeigen wir, dass es Zustände des Zauberwürfels gibt, die man nicht mit weniger als 18 Drehungen lösen kann. Die Argumentation ist dabei so gewählt, dass man den Würfel nicht zur Hand haben muss. Insbesondere geben wir weder lange Zugfolgen noch einen Lösungsalgorithmus des Würfels an.