Optionen: Grundlagen und Bewertung

Zusammenfassung

Die gehandelten Optionen basieren auf einem Vertrag zwischen zwei Parteien, bei dem eine Vertragspartei das Wahlrecht für den Kauf oder Verkauf eines Basiswerts wie etwa eine Aktie oder Währung erwirbt. Der hierfür bezahlte Preis am Optionsverkäufer wird auch als Optionsprämie bezeichnet. Demgegenüber verpflichtet sich der Optionsverkäufer, das Kauf‑ oder Verkaufsrecht des Optionskäufers zu erfüllen. Da der Verkäufer abwarten muss, ob der Käufer sein Wahlrecht zum Kauf oder Verkauf ausübt, wird er auch als Stillhalter bezeichnet.

In diesem Kapitel werden die Merkmale und die Gewinn‐Verlust‐Profile von Call‑ und Put‐Optionen beschrieben. Danach wird die Optionsbewertung anhand des Binomialmodells, des Black‐Scholes‐Modells und der Put‐Call‐Parität dargelegt, wobei sich die Ausführungen auf Aktienoptionen beziehen. Das Kapitel endet mit dem Leverage‐Effekt, der die Renditehebelwirkung von Optionen gegenüber dem zugrundeliegenden Basiswert widerspiegelt.

Microsoft‐Excel‐Applikationen

• Damit die Wahrscheinlichkeit (Fläche) aus einer Standardnormalverteilung bestimmt werden kann, ist die Standardnormalvariable erforderlich. So etwa lässt sich die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert gleich oder kleiner als die Standardnormalvariable Z ist, wie folgt berechnen:

  $$ {=}\text{Standnormvert}(\text{Z}). $$

  Anschließend ist die Enter‐Taste zu drücken.

• Im Folgenden wird gezeigt, wie Excel verwendet werden kann, um den Preis eines Calls und eines Puts mithilfe des Black/Scholes‐Modells zu berechnen. So zum Beispiel sind in den Zellen B1 bis B5 die Bewertungsparameter wie der Aktienkurs, der Ausübungspreis, die Volatilität, die Optionslaufzeit in Jahren und der risikolose Zinssatz einzugeben. In der Zelle B7 kann die Formel für die Berechnung der Standardnormalvariable d₁ erfasst werden:

  =(LN(B1/B2)+(B5+B3^2/2)*B4)/(B3*B4^0.5).

• In der Zelle B8 wird folgende Formel für die Bestimmung der Standardnormalvariable d₂ aufgeführt:

  =B7–B3*B4^0.5.

• In der Zelle B9 kann die Fläche der Standardnormalverteilung $\mathrm{N}\left(\mathrm{d}_{1}\right)$ wie folgt eruiert werden: =Standnormvert(B7). In der Zelle B10 ist die Fläche der Standardnormalverteilung $\mathrm{N}\left(\mathrm{d}_{2}\right)$ mit folgendem Formelausdruck zu ermitteln: =Standnormvert(B8). Um den Preis einer Put‐Option zu berechnen, sind in den Zellen B11 und B12 die Formeln für $1-\mathrm{N}\left(\mathrm{d}_{1}\right)$ und $1-\mathrm{N}\left(\mathrm{d}_{2}\right)$ zu erfassen. Der Diskontfaktor der Black/Scholes‐Formel von $\text{e}^{-\text{r}_{\text{Fs}}\text{T}}$ lässt sich in Zelle B13 mit dem Formelausdruck =Exp(–B5*B4) festlegen. Die Formeln zur Berechnung des Call‐Preises und des Put‐Preises in den Zellen B14 und B15 lauten wie folgt:

  $$ {=}\text{B}1^{*}\text{B}9{-}\text{B}2^{*}\text{B}13^{*}\text{B}10 $$

  und

  $$ {=}\text{B}2^{*}\text{B}13^{*}\text{B}12{-}\text{B}1^{*}\text{B}11. $$

Abb. 13.9 zeigt für das Black/Scholes‐Modell die Excel‐Maske mit den entsprechenden Formeln und die Berechnung des Call‑ und des Put‐Preises bei einem Aktienpreis von 100, einem Ausübungspreis von 90, einer Volatilität von 30 %, einer Optionslaufzeit von 0,75 Jahren und einem Zinssatz von 1 %.

Abb. 13.9

Black/Scholes‐Modell in Excel

Ist Excel auf Englisch eingestellt, gelten die folgenden Notationen:

• Standnormvert = Normsdist.