Divergente Reihen

Zusammenfassung

Die Auffassung von dem Wesen unendlicher Zahlenfolgen, wie wir sie in allem Vorangehenden, so vor allem in §§ 8—II, dargelegt haben, ist vergleichsweise neuen Datums; denn ein strenger und einwandfreier Aufbau der Theorie war erst möglich, nachdem der Begriff der reellen Zahl geklärt war. Aber selbst wenn man es gelten läßt, daß dieser Begriff und mit ihm irgendein allgemeines Konvergenzkriterium für Zahlenfolgen, etwa unser 2. Hauptkriterium, als von fast axiomatischer Natur ohne Beweis einfach anerkannt wird, so ist immer noch die Konvergenztheorie der unendlichen Zahlenfolgen, insbesondere der unendlichen Reihen, viel jüngeren Datums als ihr ausgiebiger Gebrauch und als die Entdeckung ihrer schönsten Resultate etwa durch Euler und seine Zeitgenossen, oder gar schon durch Leibniz, Newton und deren Zeitgenossen. Diesen boten sich die unendlichen Reihen in der natürlichsten Weise als Rechnungsergebnisse dar, drängten sich ihnen sozusagen auf, wie z. B. die geometrische Reihe I + x + x ² +... als nicht abbrechendes Divisionsergebnis von I: (I − x), die Taylorsche Reihe und mit ihr fast alle Reihen des VI. Kapitels durch das Prinzip der Koeffizientenvergleichung oder aus geometrischen Erwägungen heraus. In ähnlicher Weise stellten sich auch die unendlichen Produkte, Kettenbrüche und alle sonstigen Näherungsverfahren ein. Es wurde also nicht, wie wir es in unserer Darstellung getan haben, das Symbol der unendlichen Zahlenfolgen geschaffen und nun mit ihm gearbeitet, sondern diese waren da, und es galt sich mit ihnen auseinanderzusetzen.