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Einführung in die nichtparametrischen Theorien

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Einführung in Die Mathematische Statistik

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Zusammenfassung

In den vorhergehenden Kapiteln haben wir vielfach von der Voraussetzung Gebrauch gemacht, daß die Menge Γ aller Parameter eine (offene oder abgeschlossene) Teilmenge eines R n , n ≥ 1, ist. Außerdem haben wir bei wesentlichen Ergebnissen der bisher dargestellten Theorien der Likelihood-Funktion Stetigkeits- und Differenzierbarkeitsforderungen auferlegt. Seit einiger Zeit beschäftigt man sich intensiv mit den so-genannten nichtparametrischen Methoden. Einzelne Ansätze in dieser Richtung reichen allerdings schon sehr weit zurück. Bedeutende Fortschritte in neuester Zeit verdankt man angloameri-kanischen, holländischen und sowjetrussischen Statistikern1.1. Die Bezeichnung „nichtparametrisch“ ist nicht sehr glücklich gewählt. Auch ist es nicht leicht, eine befriedigende Definition dieses Begriffes zu geben. Man kann sich etwa damit begnügen, einen Test oder eine Schätzmethode nichtparametrisch zu nennen, wenn es sich um Probleme handelt, bei denen keine solche Voraussetzung über r gemacht wird wie die oben angegebenen1.2.

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Referenzen

  1. Vgl. den Bericht von D. van Dantzig und J. Hemelrijk, Bull. Intern. Stat. 34, 239–267 (1954). Ein Bericht über nichtparametrische Test- und Schätzverfahren findet sich auch bei

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  2. L. Schmetterer, J.-Ber. Deutsch. Math.-Verein 61, 104–126 (1959). Einen breiteren Ausschnitt aus den nichtparametrischen Theorien bietet das Buch von

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  5. M. G. Kendall und R. M. Sundrum, Revue Inst. internat. Statist. 21, 124–134 (1953) gegeben. Vgl. auch III., S. 236–237.

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  6. Vgl. III., S. 283. Lemma 1.1 kann als Illustration zu den dort durchgeführten Überlegungen angesehen werden.

    Google Scholar 

  7. Genauer gilt (1.14) ohne Stetigkeitsvoraussetzungen über f nur bis auf einer Nullmenge.

    Google Scholar 

  8. Wir verweisen in diesem Zusammenhang vor allem auf W. Hoeffding, Proc. Second Berkeley Symp. math. Statist. Probability 83–92 (1951).

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  11. T. S. Pitcher, Trans. Amer. math. Soc. 85, 166–173 (1957).

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  12. Für W ε W m ist dies offenbar der Fall.

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  13. Für die Literatur sei zunächst auf den grundlegenden Bericht von S. S. Wilks, Bull. Amer. math. Soc. 54, 6–50 (1948) hingewiesen. Überdies erwähnen wir:

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  14. J. W. Tukey, Ann. math. Statistics 18, 529–539 (1947) und

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  16. D. A. S. Fraser, Ann. math. Statistics 24, 44–55 (1953) und

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  17. D. A. S. Frazer und I. Guttmann, Ann. math. Statistics 27, 162 – 179 (1956).

    Article  Google Scholar 

  18. Vgl. A. Rényi, Acta math. Acad. Sci. Hungar. 4, 191–227 (1953) und

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  19. G. Hajos und A. Rényi, Acta math. Acad. Sci. Hungar. 5, 1–6 (1954).

    Article  MATH  Google Scholar 

  20. Im übrigen verschwindet die Dichte natürlich.

    Google Scholar 

  21. Die Literatur zu den Grenzwertsätzen für Ordnungsschätzungen ist sehr umfangreich. Wir erwähnen: N. V. Smirnov, Trudy mat. Inst. Steklov 1949. Von den zahlreichen Untersuchungen von Gumbel sei nur auf

    Google Scholar 

  22. E. J. Gumbel, Statistics of extremes, Columbia University Press, New York 1958, hingewiesen. Auch für den Fall, daß die im Satz 3.3 erwähnten zufälligen Variablen nicht mehr dieselbe Verteilung besitzen, sind Untersuchungen durchgeführt:

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  23. D. G. Mejzler, Ukrain. mat. Žurn. 1, 67–84 (1949);

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  24. M. Loève, Proc. 3rd Berkeley Sympos. math. Statist. Probability 2, 177–194 (1955). Verallgemeinerungen auf den zweidimensionalen Fall finden sich bei

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  25. B. V. Finkelstein, Doklady Akad. Nauk SSSR, n. Ser. 91, 209–211 (1953). Mehrere Einzelbeiträge, die vor allem für den Praktiker gedacht sind und sich nicht nur auf Grenzwertsätze beziehen, vereint das Werk: Sarhan u. Greenberg, Contributions to order statistics, John Wiley & Sons, New York 1962.

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  26. Vgl. L. Le Cam, Proc. 3rd Berkeley Sympos. math. Statist. Probability 1, 129–156(1956).

    Google Scholar 

  27. Der erste Beweis stammt von A. N. Kolmogorov, Giorn. Ist. Ital. Attuari 4, 1–11 (1933). Weitere Beweise finden sich bei

    MATH  Google Scholar 

  28. W. Feller, Ann. math. Statistics 19, 177–189 (1948) und bei

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  29. J. L. Doob, Ann. math. Statistics 20, 393–403 (1949), ergänzt durch

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  30. M. D. Donsker, Ann. math. Statistics 23, 277–281 (1952).

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  31. Z. W. Birnbaum und F. H. Tingey, Ann. math. Statistics 22, 592–596 (1951). Dieses Ergebnis hat E. Hlawka in einer ganz anders gelagerten Untersuchung über Ordnungsschätzungen angewendet: Vgl.

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  32. E. Hlawka, Math. Ann. 150, 259–267 (1963).

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  33. Auch für den Fall, daß F unstetig ist, sind Resultate erzielt worden: P. Schmid, Ann. math. Statistics 29, 1011–1027 (1958).

    Article  MATH  Google Scholar 

  34. Dieser Beweis stammt von Gnedenko und Koroljuk: B. V. Gnedenko u. V. S. Koroljuk, Doklady Akad. Nauk SSSR, n. Ser. 80, 525–528 (1951). Vgl. auch

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  35. V. S. Koroljuk, Izvestija Akad. Nauk, Ser. mat. 19, 81–96 (1955).

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  36. Wir erwähnen noch B. V. Gnedenko, Math. Nachr. 12, 29–63 (1954) und den instruktiven Bericht von Darling:

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  37. D. A. Darling, Ann. math. Statistics 28, 823–839 (1957). Für etwas andersartige Sätze vergleiche man A. Rényi, 1. c.3.1, sowie

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  38. I. Vincze, Publ. math. Inst. Hungar. Acad. Sci. 2, 183–209 (1957) und

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  39. I. Vincze, Publ. math. Inst. Hungar. Acad. Sci. 4, 29–41 (1959).

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  40. Ursprünglich stammt dieser Satz von Smirnov: N. V. Smiknov, Mat. Sbornik, n. Ser. 6, 3–26 (1939). Allerdings ist dort die zusätzliche Bedingung vorgeschrieben. Die hier gegebene Fassung wurde von 1.1. Gichman, Doklady Akad. Nauk SSSR, n. Ser. 82, 837–840 (1952) bewiesen.

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  41. H. Robbins, Proc. 3rd Berkeley Sympos. Statist. Probabüity I, 157–163 (1955). Siehe auch

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  42. M. V. Johns jr., Ann. math. Statistics 28, 649–669 (1957).

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  43. Natürlich setzen wir voraus, daß die Menge der Nullhypothesen und Menge der Alternativen zueinander fremd sind.

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  45. H. B. Mam und D. R. Whitney, Ann. math. Statistics 18, 50–60 (1947). Eine ausführliche Darstellung findet sich bei

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  47. Vgl. auch A. Renyi, Magyar tud. Akad. Alkalm mat. int. közl. 2, 243–265 (1954). Interessante historische Bemerkungen liest man bei

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  48. W. H. Kruskal nach: J. Amer. statist. Assoc. 52, 356–360 (1957).

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  50. M. E. Terry, Ann. math. Statistics 23, 346–366 (1952).

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  51. Es versteht sich von selbst, daß dieser und die folgenden Erwartungswerte bez. (F, G) genommen sind.

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  52. E. L. Lehmann, Ann. math. Statistics 22, 165–179 (1951).

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  53. Nach A. Wald und J. Wolfowitz, Ann. math. Statistics 11, 147–162 (1940).

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  54. Vgl. W. Felleb, 60, l. c. I.1.1

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  55. In jeden Zwischenraum darf höchstens ein Trennungsstrich piaziert werden.

    Google Scholar 

  56. Für den Zeichentest verweisen wir noch auf W. J. Dixon u. A. M. Mood, J. Amer. statist. Assoc. 41, 557–566 (1946) sowie auf E. Ruist, 1. c. 1.2.

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  58. A. Benard, Indagationes math. 19, 381–407 (1957).

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  60. Z. W. Birnbaum und H. S. Zuckerman, Ann. math. Statistics 15, 328–329 (1944) in die Sprache der Wahrscheinlichkeitsrechnung übertragen.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  61. Vgl. H. Uzawa, Ann. math. Statistics 31, 685–702 (1960). Die dort erzielten Resultate umfassen insbesondere die Resultate von

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  62. E. L. Lehmann, Ann. math. Statistics 24, 23–43 (1953).

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  63. Die Gleichverteilung über (0,1) gehört also ebenfalls zu H.

    Google Scholar 

  64. Diese Aussagen folgen unmittelbar aus dem Fejérschen Satz über das Verhalten der arithmetischen Mittel einer Fourier-Reihe. Vgl. A. Zygmund, Trigonometric series. 2. Auflage, Band I, At the University Press; Cambridge 1959, 89.

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  65. Diese für beliebige trigonometrische Polynome gültige Ungleichung stammt von S. N. Bernstein. Vgl. N. K. Baby, A treatise on trigonometric series. Band I, Pergamon Press, Oxford-London-Edinburgh-New York-Paris-Frankfurt 1964, 35.

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  67. W. Hoeffding, Ann. math. Statistics 19, 293–325 (1948).

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  68. Die hier skizzierte Methode läßt sich verallgemeinern. Vgl. E. L. Lehmann, 1. c.4.7.

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  69. Dieser Satz wurde wohl zuerst von H. R. Van der Vaart, Nederl. Akad. Wet., Proc., Ser. A, 53, 494–520 (1956) bewiesen.

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  70. Wir erwähnen J. L. Hodges jr. und E. L. Lehmann, l. c. III.12.6, H. Chernoff und I. R. Savage, Ann. math. Statistics 29, 972–994 (1958),

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  71. M. Dwass, Ann. math. Statistics 27, 352–374 (1956). Außerdem verweisen wir auch auf

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  75. In dieser Form stammen Satz und Beweis von J. Wolfowitz, Ann. math. Statistics 23, 457–461 (1952).

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  76. Mit einer geringfügigen Modifikation.

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  77. Vgl. etwa L. Schmetterer, Österreich. Ingenieur-Arch. 7, 111 – 117 (1953);

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  78. K. L. Chung, Ann. math. Statistics 25, 463–483 (1954);

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  79. A. Dvoretzky. Proc. 3rd Berkeley Sympos. math. Statist. Probability 1, 39–55 (1956). Eine ziemlich vollständige Übersicht bietet

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  80. L. Schmetterer, Proc. 4th Berkeley Sympos. math. Statist. Probability 1, 587–609 (1960). Für verwandte Probleme sei noch auf

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  81. A. Špaček, Czechosl. math. J. 5, 462–466 (1955) hingewiesen.

    Google Scholar 

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  1. Universität Wien, Österreich

    Dr. Leopold Schmetterer (Professor)

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  1. Dr. Leopold Schmetterer
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Schmetterer, L. (1966). Einführung in die nichtparametrischen Theorien. In: Einführung in Die Mathematische Statistik. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-25933-7_9

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