Über die Grundlösung bei parabolischen Gleichungen

Zusammenfassung

Für die Gleichung

$$\Delta z - \frac{{\partial z}}{{\partial x}} = 0\quad \left( {\Delta z = \sum\limits_{{i = 1}}^{n} {\frac{{{\partial ^{2}}z}}{{\partial y_{i}^{2}}}}}\right)$$

((1))

ist, wie bekannt, die Funktion

$$\frac{1}{{{{(2\sqrt {\pi } )}^{n}}}}\frac{1}{{{{(\sqrt {{x - \xi }} )}^{n}}}}{e^{{ - \frac{{{r^{2}}}}{{4(x - \xi )}}}}}\quad \left( {{r^{2}} = \sum\limits_{{i = 1}}^{n} {{{({y_{i}} - {\eta _{i}})}^{2}};} {\kern 1pt} x\xi } \right) $$

((2))

eine Grundlösung. Unter Anwendung sukzessiver Approximationen bewies Gevrey die Existenz einer Grundlösung auch für die allgemeinere Gleichung

$$\Delta z - \frac{{\partial z}}{{\partial x}} + \sum\limits_{{v = 1}}^{n} {{a_{v}}} \frac{{\partial z}}{{\partial {y_{v}}}} + cz = 0) $$

((3))

indem er die Funktion (2) als erste Approximation benutzte¹). Auf die Form (3) läßt sich, wenn n ≦ 2 ist, durch eine Transformation der Variablen diejenige Gleichung zurückführen, die aus (3) entsteht, wenn man an Stelle von Δ einen allgemeinen linearen elliptischen Differentialausdruck setzt und bei $\frac{{\partial z}}{{\partial x}}$ noch einen Koeffizienten zuläßt²). Für n ≧ 3 ist das jedoch nicht mehr der Fall, da man dann einen elliptischen Ausdruck im allgemeinen nicht auf die Normalform transformieren kann.