Differentialgleichungen erster Ordnung im komplexen Gebiet

Zusammenfassung

Für z-Werte, welche einem abgeschlossenen Bereiche B der komplexen z-Ebene, und für w-Werte, welche einem abgeschlossenen Bereiche G der komplexen w-Ebene angehören, sei f(z, w) eine eindeutige, bis auf gewisse Singularitäten reguläre analytische Funktion. Uns wird hier insbesondere allein der Fall beschäftigen, daß f(z, w) in dem Bereiche durchweg von rationalem Charakter ist. Dann wollen wir f(z, w) als Quotient zweier in dem Bereiche regulärer Funktionen annehmen. Es sei also $f\left( {z,w} \right) = \frac{{f_1 \left( {z,w} \right)}}{{f_2 \left( {z,w} \right)}},$ wo f ₁(z, w) und f ₂(z, w) im zugrunde gelegten Bereiche regulär sind. Dann stellen wir uns die Aufgabe, die Lösungen der Differentialgleichung

$$\frac{{dw}}{{dz}} = \frac{{f_1 \left( {z,w} \right)}}{{f_2 \left( {z,w} \right)}}$$

((1))

in diesem Bereiche zu untersuchen. Solche Lösungen sind durch ihre Anfangsbedingungen bestimmt, und wir wissen von S. 41 her folgendes: Wenn die Anfangswerte z ₀, w ₀ so gewählt sind, daß f(z,w) an dieser Stelle regulär ist, daß also mit anderen Worten daselbst der Nenner nicht verschwindet, dann gibt es genau eine in der Umgebung von z ₀ eindeutige reguläre Funktion w(z), für die w(z ₀) = w ₀ gilt, und die der Differentialgleichung genügt.