Analytische Mechanik – übereffiziente Algorithmen Bewegungsgleichungen herleiten

Zusammenfassung

Über die Methoden der analytischen Mechanik werden wir Verfahren kennenlernen, bei denen für Systeme die Bewegungsgleichungen hergeleitet werden können, ohne die Zwangsreaktionen bestimmen zu müssen. Dazu führen wir die virtuelle Arbeit von Kräften und Momenten ein. Beim Prinzip von d’Alembert in Lagrange’scher Fassung muss die Summe aus virtueller Arbeit von eingeprägten Kräften und Momenten und virtueller Arbeit der Trägheitskräfte verschwinden. Zwangskräfte und Zwangsmomente leisten in der Summe bei einer virtuellen Verschiebung des Systems keine Arbeit und müssen deshalb nicht berücksichtigt werden. Nach entsprechender Umformung resultieren die Lagrange’schen Gleichungen zweiter Art, bei denen das kinetische Potenzial, das sich aus der Differenz von kinetischer Energie und potenzieller Energie ergibt, formal differenziert werden muss, um dann unter Einarbeitung der verallgemeinerten Kräfte direkt die Bewegungsgleichungen zu erhalten. Es sind also lediglich die kinetische Energie und die potenzielle Energie des Systems und die virtuelle Arbeit der nicht konservativen Kräfte zu bestimmen, davon abgesehen muss nur der mathematische Algorithmus angewendet werden.

Appendices

Antworten zu den Verständnisfragen

Antwort 11.1

6, z. B. die Verdrehwinkel in den Gelenken.

Antwort 11.2

Geschwindigkeit des Kontaktpunktes muss null sein.

Antwort 11.3

Viskoser Dämpfer: $\updelta W=-k_{\mathrm{D}}\dot{x}\updelta x$, trockene Reibung: $\updelta W=-\mu F_{\mathrm{N}}\updelta x$.

Antwort 11.4

Bei Rollen: Zwangskraft, bei Schlupf: eingeprägte Kraft.

Aufgaben

Im Folgenden finden Sie Aufgaben zu dem im Kapitel besprochenen Thema. Wenn es sich um Rechenaufgaben handelt, ist der Schwierigkeitsgrad angegeben (• leicht, •• mittel, ••• schwer).

Die Lösungen zu allen Aufgaben finden Sie auf der Internetseite des Buches.

11.1

• Der Faden eines Jo-Jos wird festgehalten, während das Jo-Jo nach unten beschleunigt.

Wie groß ist die Beschleunigung des Schwerpunktes, wenn der Radius der Walze, auf dem der Faden aufgewickelt ist, R beträgt und das Jo-Jo selbst als homogene Scheibe der Masse m mit Radius 3R betrachtet werden kann? Zur Lösung soll das Prinzip von d’Alembert in Lagrange’scher Fassung verwendet werden.

Hinweis:

Drehung und Translation sind gekoppelt.

Resultat:

$$\displaystyle\ddot{x}=\frac{2}{11}g$$

11.2

• Lösen Sie Aufgabe 11.1 mithilfe der Lagrange’schen Gleichungen.

Hinweis:

Drehung und Translation sind gekoppelt.

Resultat:

$$\displaystyle\ddot{x}=\frac{2}{11}g$$

11.3

•• An dem abgebildeten Doppelpendel greifen die Kräfte F₁ und F₂ an. Wie viele Freiheitsgrade hat das System? Wie groß ist die virtuelle Arbeit bei einer virtuellen Verrückung?

Hinweis:

Auswertung über Skalarprodukte.

Resultat:

$$\displaystyle\updelta W=[F_{1}+\sin(\varphi_{1}-\varphi_{2})F_{2}]l_{1}\updelta\varphi_{1}$$

11.4

•• Der abgebildete Zweischlag besteht aus zwei Stäben der Länge l. Die Punkte A und B können sich horizontal verschieben, ihre Lage wird durch die Koordinaten x_A und x_B beschrieben. Am Gelenk G greift die Kraft F₁ unter dem Winkel α an. Am linken Stab wirkt mittig die Kraft F₂ stets senkrecht zur Stablängsachse und am Punkt B die horizontale Kraft F₃.

Wie groß ist die virtuelle Arbeit? Was ergibt sich für die verallgemeinerten Kräfte?

Hinweis:

Bestimmen Sie zunächst die Ortsvektoren zu den Kraftangriffspunkten in Abhängigkeit von x_A und x_B.

Resultat:

$$\begin{aligned}\displaystyle F_{\mathrm{A}}&\displaystyle=\frac{1}{2}\cos\alpha F_{1}+\frac{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}{2\sqrt{4l^{2}-(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}})^{2}}}F_{1}\sin\alpha\\ \displaystyle&\displaystyle\quad+\frac{3}{8l}\sqrt{4l^{2}-(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}})^{2}}F_{2}-\frac{(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}})^{2}}{8l\sqrt{4l^{2}-(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}})^{2}}}F_{2},\\ \displaystyle F_{\mathrm{B}}&\displaystyle=\frac{1}{2}\cos\alpha F_{1}+\frac{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}{2\sqrt{4l^{2}-(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}})^{2}}}F_{1}\sin\alpha\\ \displaystyle&\displaystyle\quad+\frac{1}{8l}\sqrt{4l^{2}-(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}})^{2}}F_{2}\\ \displaystyle&\displaystyle\quad+\frac{(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}})^{2}}{8l\sqrt{4l^{2}-(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}})^{2}}}F_{2}+F_{3}.\end{aligned}$$

11.5

•• Über den abgebildeten Klappmechanismus wird der Massenpunkt mithilfe der Kraft F beschleunigt.

Der Massenpunkt hat die Masse 5m, die Stäbe jeweils die Masse m ∕ 2 und die Länge l beziehungsweise m ∕ 4 und l ∕ 2. Leiten Sie die Bewegungsgleichung mithilfe des Prinzips von d’Alembert her. Überprüfen Sie das Ergebnis mit den Lagrange’schen Gleichungen 2. Art.

Hinweis:

Stellen Sie zunächst die Ortsvektoren zu den Schwerpunkten auf.

Resultat:

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{25}{12}ml^{2}\ddot{\varphi}+\frac{275}{8}ml^{2}\ddot{\varphi}\sin^{2}\varphi&\displaystyle+\frac{275}{8}ml^{2}\dot{\varphi}^{2}\sin\varphi\cos\varphi\\ \displaystyle&\displaystyle+\frac{15}{4}mgl\cos\varphi+Fl\cos\varphi=0\end{aligned}$$

11.6

•• Das Doppelpendel besteht aus zwei dünnen Stäben mit jeweils Masse m und Länge l. Belastet wird das Doppelpendel durch die zwei Kräfte F₁ und F₂. Die Schwerkraft wirkt vertikal nach unten.

Wie viele Freiheitsgrade hat das Doppelpendel? Geben Sie die Bewegungsgleichungen mithilfe der Lagrange’schen Gleichungen 2. Art an.

Hinweis:

Verwenden Sie die verallgemeinerten Kräfte aus Aufgabe 11.3.

Resultat:

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{4}{3}ml^{2}\ddot{\varphi}_{1}&\displaystyle+\frac{1}{2}ml^{2}(\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}+\sin\varphi_{1}\sin\varphi_{2})\ddot{\varphi}_{2}\\ \displaystyle&\displaystyle+\frac{1}{2}ml^{2}(-\cos\varphi_{1}\sin\varphi_{2}+\sin\varphi_{1}\cos\varphi_{2})\dot{\varphi}_{2}^{2}\\ \displaystyle&\displaystyle+\frac{3}{2}mgl\sin\varphi_{1}=[F_{1}+\sin(\varphi_{1}-\varphi_{2})F_{2}]l,\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{1}{3}ml^{2}\ddot{\varphi}_{2}&\displaystyle+\frac{1}{2}ml^{2}(\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}+\sin\varphi_{1}\sin\varphi_{2})\ddot{\varphi}_{1}\\ \displaystyle&\displaystyle+\frac{1}{2}ml^{2}(-\sin\varphi_{1}\cos\varphi_{2}+\cos\varphi_{1}\sin\varphi_{2})\dot{\varphi}_{1}^{2}\\ \displaystyle&\displaystyle+\frac{1}{2}mgl\sin\varphi_{2}=0.\end{aligned}$$

11.7

•• Das Modell eines Aufzuges besteht aus drei Walzen mit den Radien r₁, r₂, r₃ und den Massen m₁, m₂, m₃. Die Last mit der Masse m₄ hängt an der unteren Scheibe. Die oberen beiden Walzen sind fest verbunden, sodass sie sich mit derselben Winkelgeschwindigkeit ω drehen. An ihnen wirkt das Antriebsmoment M_A und ein Dämpfungsmoment $k_{\mathrm{D}}\omega$ aufgrund eines viskosen Drehdämpfers.

Mit dem Prinzip von d’Alembert ist die Bewegungsgleichung herzuleiten.

Hinweis:

Werten Sie zunächst die Kinematik aus.

Resultat:

$$\begin{aligned}\displaystyle\bigg[(m3+m4)\bigg(\frac{r_{1}-r_{2}}{2}\bigg)^{2}+\frac{m_{1}}{2}r_{1}^{2}+\frac{m_{2}}{2}r_{2}^{2}+\frac{m_{3}}{2}r_{3}^{2}\bigg]\ddot{\varphi}\\ \displaystyle+(m_{3}+m_{4})g\frac{r_{1}-r_{2}}{2}+k_{\mathrm{D}}\dot{\varphi}=M_{\mathrm{A}}.\end{aligned}$$

11.8

•• Leiten Sie mit den Angaben aus Aufgabe 11.7 die Bewegungsgleichungen nun auch mithilfe des Langrange’schen Formalismus her.

Hinweis:

Werten Sie zunächst die Kinematik aus.

Resultat:

$$\begin{aligned}\displaystyle \bigg[\frac{m_{1}}{2}r_{1}^{2}+\frac{m_{2}}{2}r_{2}^{2}+\frac{m_{3}}{2}r_{3}^{2}+m_{3}\bigg( \frac{r_{1}-r_{2}}{2} \bigg)^{ 2}+m_{4}\bigg( \frac{r_{1}-r_{2}}{2} \bigg)^{ 2}\bigg]\ddot{\varphi}\\ \displaystyle+(m_{3}+m_{4})g\frac{r_{1}-r_{2}}{2}+k_{\mathrm{D}}\dot{\varphi}=M_{\mathrm{A}}\end{aligned}$$

11.9

•• Für die abgebildete Schwingerkette leite man die Bewegungsgleichungen mithilfe des Lagrange’schen Formalismus her und überprüfe das Ergebnis mithilfe des Prinzips von d’Alembert in Lagrange’scher Fassung. Wie lautet das Ergebnis für n = 4?

Hinweis:

Die Bewegungen der einzelnen Massenpunkte sind unabhängig voneinander.

Resultat:

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\begin{pmatrix}m_{1}&0&0&0\\ 0&m_{2}&0&0\\ 0&0&m_{3}&0\\ 0&0&0&m_{4}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\ddot{x}_{1}\\ \ddot{x}_{2}\\ \ddot{x}_{3}\\ \ddot{x}_{4}\end{pmatrix}\\ \displaystyle&\displaystyle\qquad+\begin{pmatrix}c_{1}+c_{2}&-c_{2}&0&0\\ -c_{2}&c_{2}+c_{3}&-c_{3}&0\\ 0&-c_{3}&c_{3}+c_{4}&-c_{4}\\ 0&0&-c_{4}&c_{4}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ x_{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\end{aligned}$$

11.10

•• Eine Scheibe kann auf dem Untergrund abrollen. Die Scheibe hat den Radis r und die Masse m_Sch. An der Scheibe ist ein Stab der Länge 2r und der Masse m_St angeschweißt. Zur Beschreibung werden die Koordinaten x und $\varphi$ eingeführt. Beide sind null, wenn der Stab vertikal nach unten zeigt. Der Drehung der Scheibe wirkt ein Dämpfermoment $k_{\mathrm{D}}\dot{\varphi}$ entgegen. Wie viele Freiheitsgrade hat das System? Die Bewegungsgleichungen sind mithilfe der Lagrange’schen Gleichungen zweiter Art herzuleiten.

Hinweis:

Die Drehung der Stange entspricht der Drehung der Scheibe.

Resultat:

$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\left(\frac{3}{2}m_{\text{Sch}}+\frac{7}{3}m_{\text{St}}-2m_{\text{St}}\cos\varphi\right)r^{2}\ddot{\varphi}\\ \displaystyle&\displaystyle\qquad+m_{\text{St}}\sin\varphi r^{2}\dot{\varphi}^{2}+k_{\mathrm{D}}\dot{\varphi}+m_{\text{St}}gr\sin\varphi=0\end{aligned}$$

11.11

••• Eine Scheibe kann auf dem Untergrund abrollen. Die Scheibe hat den Radis r und die Masse m_Sch. Im Mittelpunkt der Scheibe ist ein Stab der Länge 2r und der Masse m_St über ein Gelenk reibungsfrei drehbar befestigt. Zur Beschreibung der Lage werden die horizontale Koordinate x des Scheibenschwerpunktes und die Verdrehwinkel $\varphi$ der Scheibe und ψ des Stabes eingeführt. Alle Koordinaten sind null, wenn der Stab vertikal nach unten zeigt und der Scheibenschwerpunkt sich bei x = 0 befindet. Der Drehung der Scheibe wirkt ein Dämpfermoment $k_{\mathrm{D}}\dot{\varphi}$ entgegen. Wie viele Freiheitsgrade hat das System? Die Bewegungsgleichungen sind mithilfe der Lagrange’schen Gleichungen zweiter Art herzuleiten.

Hinweis:

Die Stange kann sich bezüglich der Scheibe um deren Mittelpunkt verdrehen.

Resultat:

$$\begin{aligned}\displaystyle\left(\frac{3}{2}m_{\text{Sch}}+m_{\text{St}}\right)r^{2}\ddot{\varphi}-m_{\text{St}}r^{2}\ddot{\psi}\cos\psi\\ \displaystyle+m_{\text{St}}r^{2}\dot{\psi}^{2}\sin\psi+k_{\mathrm{D}}\dot{\varphi}&\displaystyle=0,\\ \displaystyle\frac{4}{3}m_{\text{St}}r^{2}\ddot{\psi}-m_{\text{St}}r^{2}\ddot{\varphi}\cos\psi+m_{\text{St}}gr\sin\psi&\displaystyle=0.\end{aligned}$$

11.12

••• Beim abgebildeten Einzylindermotor wirkt auf die Kolbenfläche die Druckkraft $F(\varphi)$. Am Abtrieb ist eine Schwungscheibe angebracht, die starr über die Motorwelle mit der Kurbel verbunden ist, und an der das Lastmoment M_L wirkt. Das Massenträgheitsmoment von Schwungscheibe, Motorwelle und Kurbel beträgt zusammen J₁. Die Pleuelstange hat die Länge l, die Masse m_P und das Massenträgheitsmoment J_P bezüglich dem Schwerpunkt, der in der Mitte des Pleuels liegt. Kreuzkopf und Zylinder haben zusammen die Masse m_Zyl.

Geben Sie die Bewegungsgleichung an.

Hinweis:

Führen Sie entsprechende Abkürzungen ein.

Resultat:

$$\begin{aligned}\displaystyle\updelta W&\displaystyle=-J_{1}\ddot{\varphi}\updelta\varphi-J_{\mathrm{P}}\ddot{\psi}\updelta\psi-m_{\text{Pl}}(\ddot{r}_{\text{Pl},x}\updelta r_{\text{Pl},x}+\ddot{r}_{\text{Pl},y}\updelta r_{\text{Pl},y})\\ \displaystyle&\displaystyle\quad-m_{\text{Zyl}}\ddot{x}_{\text{Zyl}}\updelta x_{\text{Zyl}}-F\updelta x_{\text{Zyl}}-M_{\mathrm{L}}\updelta\varphi\\ \displaystyle&\displaystyle=0\end{aligned}$$

11.13

•• Beim sympathischen Pendel sind zwei identische mathematische Pendel über eine Feder miteinander verbunden. Die Pendel haben die Länge l und die Masse m. Die Feder ist jeweils in der Mitte der Pendelstangen angebracht. Vertikal nach unten wirkt die Erdbeschleunigung.

Leiten Sie die nichtlinearen Bewegungsgleichungen mithilfe der Lagrange’schen Gleichungen zweiter Art her. Linearisieren Sie diese für $\varphi\ll 1$ und $\psi\ll 1$.

Hinweis:

Nehmen Sie der Einfachheit halber an, dass der Abstand der Lager sehr viel größer ist als die Pendellänge, sodass für die Federverlängerung nur die horizontalen Verschiebungen von deren Enden berücksichtigt werden muss.

Resultat:

$$\begin{aligned}\displaystyle ml^{2}\ddot{\varphi}+mgl\varphi+\frac{cl^{2}}{4}(\varphi-\psi)&\displaystyle=0,\\ \displaystyle ml^{2}\ddot{\psi}+mgl\psi+\frac{cl^{2}}{4}(\psi-\varphi)&\displaystyle=0.\end{aligned}$$