Das ebene Feld II

Zusammenfassung

In einem ebenen Feld sind die Bestimmungsstücke der Feldgrößen Funktionen der Koordinaten x _a des Punktes der Ebene, in denen sie wirken. Ist die Feldgröße ein Skalar, dann ist

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((32,01))

ist sie ein Vektor, dann ist

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((32,02))

Für einen Tensor zweiter Stufe gilt

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((33,03))

Genau wie im Falle des räumlichen Feldes die Feldgrößen als Ortsfunktionen von den skalarer Parameter dadurch, daß bei einer Koordinatentransformation die unabhängigen Veränderlichen x₁ und x₂ ebenfalls der Transformation zu unterwerfen sind. Daraus folgt in gleicher Weise wie beim räumlichen Feld, daß die Differentialquotienten $$ Punktes, in dem er wirkt, einen Tensor (n+1)-ter Stufe, den Gradiententensor oder Gradienten

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((32,05))

bilden. Der Gradient eines Skalarfeldes ist der Vektor

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((32,05))

Der Gradient eines Vektorfeldes ist ein Tensor zweiter Stufe

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((32,06))

dessen Verjüngung

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((32,07))

man die Divergenz nennt. Dem Rotor des räumlichen Wirbelfeldes entspricht der Skalar

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((32,08))

Denken wir uns nämlich die Feldebene in einen Raum verlegt und ergänzen das Koordinatensystem durch eine zur Ebene senkrechte 3-Achse, dann gilt für jeden Vektor der Ebene A ₃ = 0 und, wenn das Feld in der 3-Richtung sich nicht ändert, $$Von dem räumlichen Rotor

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verschwinden dann die Koordinaten R₁ und R2 und die im allgemeinen allein von Null verschiedene Koordinate R ₃ ist gleich dem durch (32, 08) gegebenen Skalar R den wir unter Berücksichtigung des eben Gesagten den Rotor des ebenen Feldes nennen.