Differenzengleichungen

Zusammenfassung

Ein großer Teil der Vorgänge in unserer Umwelt kann wenigstens in guter Näherung als in der Zeit kontinuierlich verlaufend angesehen werden. Als Beispiel sei die exponentiell mit der Zeit t abnehmende Menge m(t) einer radioaktiven Substanz nach dem Zerfallsgesetz m(t) = m₀e^-λt angeführt (m₀ ist die Substanzmenge zum Zeitpunkt t = 0 und λ die Zerfallskonstante). Vor allem in biologischen Systemen ist es aber nicht immer gerechtfertigt, Veränderungen im Verlaufe der Zeit auf einer kontinuierlichen Skala zu betrachten. Das Wachstum einer Insektenpopulation mit getrennten Generationen oder genetische Veränderungen als Folge von Kreuzungsexperimenten beschreibt man sinnvollerweise auf einer diskreten Zeitskala, auf der nur bestimmte Zeitpunkte (etwa die in Abständen der Generationsdauer T aufeinanderfolgenden) von Interesse sind. Nur in diesen Zeitpunkten wird der Zustand des Systems betrachtet und die interessierende Zustandsvariable y (z.B. die Größe einer Population) erfaßt. Die in aufeinanderfolgenden Zeitpunkten t_n = nT (n = 0, 1,…) bestimmten Werte y₀, y₁,… von y bilden eine Folge, durch die die zeitliche Änderung des betrachteten Systems als ein diskreter Prozeß beschrieben wird. Die Folge bezeichnen wir kurz mit {y_n}, y_n heißt in diesem Zusammenhang das allgemeine Folgenglied und die Zählvariable n der Folgenindex. Handelt es sich bei y um eine numerische Größe (eine solche wird nun stets vorausgesetzt), so spricht man speziell von einer Zahlenfolge.

Mathematik ist ein geistreicher Luxus. (Friedrich der Große)