Teoria globale delle superfici

Riassunto

Il teorema di Gauss-Bonnet è solo il primo (anche se uno dei più importanti) dei tanti teoremi di teoria globale delle superfici. Si tratta di una teoria cos`i vasta e ricca di risultati che è impossibile renderle giustizia all’interno di un solo capitolo (o di un solo volume, se è per questo). Ci limiteremo quindi a presentare alcuni teoremi significativi che danno l’idea delle tecniche che si usano e del tipo di risultati che si possono ottenere.

L’obiettivo principale di questo capitolo è ottenere la classificazione completa delle superfici chiuse di R³ con curvatura Gaussiana costante. Infatti, nella Sezione 7.1 dimostreremo che le sole superfici chiuse con curvatura Gaussiana costante sono le sfere (a dire il vero, lo dimostreremo solo per le superfici compatte; per avere l’enunciato completo ci servirí il materiale che presenteremo nella Sezione 7.4 dei Complementi a questo capitolo). Nella Sezione 7.2 dimostreremo invece che le sole superfici chiuse con curvatura Gaussiana identicamente nulla sono i piani e i cilindri, e nella Sezione 7.3 che non esistono superfici chiuse con curvatura Gaussiana costante negativa. Come vedrai, le dimostrazioni di questi ultimi risultati sono piuttosto complesse, e usano in maniera essenziale le proprietí delle linee asintotiche e le equazioni di Codazzi-Mainardi (4.28).

Nei Complementi ci spingeremo oltre, introducendo tecniche piuttosto raf- finate per lo studio delle superfici chiuse con curvatura Gaussiana di segno costante. Nella Sezione 7.4 dimostreremo che ogni superficie compatta con curvatura Gaussiana positiva è diffeomorfa alla sfera (teorema di Hadamard) mentre ogni superficie chiusa non compatta con curvatura Gaussiana positiva è diffeomorfa a un aperto convesso del piano (teorema di Stoker). Nella Sezione 7.5 introdurremo i concetti di rivestimento e di superficie semplicemente connessa, e nella Sezione 7.6 dimostreremo infine un altro teorema dovuto a Hadamard: ogni superficie chiusa semplicemente connessa con curvatura Gaussiana nonpositiva è diffeomorfa a un piano.