Operatori e funzioni d’onda

Sommario

1.1 Commutatori e spettro

Dati tre operatori A,B,C, dimostrare che se [A,B] = [A,C] = 0, ma [B,C] ≠ 0, lo spettro di A è degenere.

Soluzione

Supponiamo per assurdo che tutti gli autovalori di A siano non degeneri, cioè che, per ogni autovalore a di A, esista un solo stato |ψ _a 〉 tale che

$$ A\left| {\psi_{a} } \right\rangle = a\left| {\psi_{a} } \right\rangle . $$

Se questo è vero, ciascuno stato |ψ _a 〉 deve essere anche autostato di B e C dato che A,B,C sono compatibili. Possiamo etichettare quindi lo stato |ψ _a 〉 anche con gli autovalori corrispondenti di B e C:

$$ \begin{array}{*{20}c} {A\left| {\psi_{a,b,c} } \right\rangle } & = & {a\left| {\psi_{a,b,c} } \right\rangle } \\ {B\left| {\psi_{a,b,c} } \right\rangle } & = & {b\left| {\psi_{a,b,c} } \right\rangle } \\ {C\left| {\psi_{a,b,c} } \right\rangle } & = & {c\left| {\psi_{a,b,c} } \right\rangle } \\ \end{array} $$

dove ovviamente per ogni a fissato, b e c sono unici. Per ogni generico stato |ψ _a 〉 risulta:

$$ \left[ {B,C} \right]\left| \psi \right\rangle = \left( {BC - CB} \right)\sum\limits_{a} {\left| {\psi_{a,b,c} } \right\rangle = } \sum\limits_{a} {\left( {bc - cb} \right)} \left| {\psi_{a,b,c} } \right\rangle = 0 $$

risultato in contrasto con l’ipotesi [B,C] ≠ 0.