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Literatur
Bidrag til de lineaere Differensligningers Theori, Diss. Kopenhagen 1910; Über lineare Differenzengleichungen, Abh. d. Akad. Kopenhagen, math.-nat. Kl., 1911; vgl. auch C. R, 15. Nov. 1909 und Acta Math. 34.
Zu demselben Zweck habe ich divergente Potenzreihen verwandt (Math. Ann. 53; J. f. Math. 138), ebenso Galbrun (C. R., 5. Apr. 1909, 6. Dez. 1909, 24. Jan. 1910, 12. Dez. 1910).
Die in neuerer Zeit von Jensen, Nielsen (Ann. de l'Éc. norm. 1902; Handbuch der Theorie der Gammafunktion, 1906), Pincherle (Ann. de l'Éc. norm. 1905) und Landau (München Ak. Sitzungsberichte, math.-nat. Kl., 1906) entwickelte Theorie der Fakultätenreihen setzen wir im folgenden nicht voraus. Wir machen jedoch Gebrauch von dem von Hadamard (J. de Math. 1892) eingeführten Begriff der Ordnung einer Potenzreihe auf dem Konvergenzkreis, welchen Pincherle (Acc. dei Lincei, Rendiconti, math.-nat. Kl., 12, 2. Sem., S. 336ff.) und Nörlund (a. a. O.) bei der Entwicklung einer Funktion in eine Fakultätenreihe benutzt haben. Erwähnt sei auch eine ältere Arbeit von Schlömilch über Fakultätenreihen (Z. Math. Phys., 4).
Die in § 1 zusammengestellten Grundlagen für die folgenden Entwicklungen rühren im wesentlichen von Poincaré her (Am. J. of Math. 7). Vgl. auch Picard, Traité d'Analyse III, Kap. 14 und Senlesinger, Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen I I, S. 407 ff.; in Betreff der asymptotischen Darstellung der Integrale durch die Thoméschen Normalreihen, die jedoch zunächst nicht vorausgesetzt wird, vgl. auch Poincaré, Act. math. 8 und meine Arbeit im 50. Bd. der Math. Ann,
Der Rang wärek+1, wennP h (h=1,2,...,m) eine ganze Funktion vom Gradp+hk wäre (Act. Math. 8, S. 305).
Vgl. z. B. Schlesinger, a. a. O., Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen I, S. 401 ff.
Picard, a. a. O.; Am. J. of Math. 7). Math. Ann. 50, S. 555–556.-Mit Hilfe der asymptotischen Darstellung der Integrale von (B) würde sich das Verhalten vonv(x) im. Unendlichen genauer ergeben (vgl. meine Arbeiten im 133. und 138. Bd. des J. f. Math.).
J. de Math. 1892, S. 154–186. (Vgl. auch die auf S. 1–4 der Dissertation von Nörlund zusammengestellten Sätze.)
Hadamard, a. a. O., (J. de Math. 1892) S. 174.
A. a. O., (J. de Math. 1892), S. 177.-Vgl. die Einführung der Ableitung von beliebigem IndexD xa f(x) auf S. 154 ff.
Vgl. die Einführung dieses Begriffs bei Hadamard, (J. de Math. 1892), S. 165.
A. a. O., Vgl. die Einführung dieses Begriffs bei Hadamard, (J. de Math. 1892) S. 170–171.
A. a. O., Vlg. die Einführung dieses Begriffs bei Hadamard, (J. de Math. 1892) S. 171.
Math. Ann. 50, S. 555–556.-Vgl. auch die letzte Fußnote zu § 1.
Die KoeffizientenA n hängen von κ ab.—Die Fakultätenreihe\(\sum\limits_{n = 0}^\infty {A_n \frac{{(\lambda + 1) \cdots (\lambda + n)}}{{\left( {\xi + \lambda + 1} \right) \cdots \left( {\xi + \lambda + n} \right)}}} \) ist in einer gewissen Umgebung jeder Stelle im Innern ihrer Konvergenzhalbebene
Math. Ann. 50; J. f. Math. 133.
Acta Math. 8. Vgl. meine Arbeit im 23. Bd. der Act. Math.
Trans. Am. Math. Soc. 1909.
Die Substitutiony=e βxu würde auch ausreichen. Vgl. Birkhoff, a. a. O., S. 457.
Math. Ann. 50, S. 555–556. — Mit Hilfe der asymptotischen Darstellung der Integrale von (D) könnte man ein größeres Gültigkeitsgebiet des Integralausdrucks füru angeben.
Acta Math. 23; J. f. Math. 133.
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Horn, J. Fakultätenreihen in der theorie der linearen differentialgleichungen. Math. Ann. 71, 510–532 (1912). https://doi.org/10.1007/BF01456806
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01456806