Conformal mapping, algebraic parametrization and two-variable expansion of many-threshold scattering amplitudes

Summary

The possibilities to approximate many-threshold scattering amplitudes by algebraic functions are studied. We confine ourselves to functions with Riemann surfaces of genus zero or of identical, branch structure in any sheets, respectively, and write down the corresponding threshold parametrizations. For more than two thresholds, these parametrizations have a much simpler analytic structure than the series recently proposed in the context of uniformization of scattering amplitudes by automorphic functions. Moreover, they possess rational representations in one or two algebraic functions, respectively, and thus also provide a more simple method for numerical extrapolations. We give a complete analysis of the corresponding compact Riemann surfaces in terms of uniformizing functions and also discuss the relations to the method of accelerated convergence expansions.

Riassunto

Si studiano le possibilità di approssimare delle ampiezze di scattering a molte soglie per mezzo di funzioni algebraiche. Ci si limita a funzioni con superfici di Riemann di genere zero o con identica struttura a rami in ogni foglietto, rispettivamente, e si scrivono le corrispondenti parametrizzazioni di soglia. Per più di due soglie queste parametrizzazioni hanno struttura analitica molto più semplice delle serie proposte recentemente nel contesto della uniformizzazione delle ampiezze di scattering per mezzo di funzioni automorfe. Inoltre, esse, possiedono rappresentazioni razionali in una o due funzioni algebriche rispettivamente, e così forniscono anche un metodo più semplice per le estrapolazioni numeriche. Si fa un’analisi completa delle corrispondenti superfici di Riemann compatte in termini di funzioni di uniformizzazione e si discutono anche i rapporti con il metodo degli sviluppi di convergenza accelerati.

Резюме

Исследуются возможности аппроксимации амплитуды рассеяния в случае нескольких порогов с помощью алгебраических функций. Мы ограничиваемся рассмотрением функций с римановыми поверхностями и записываем соответствующие параметризации порогов. Для случая более, чем двух порогов эти параметризации имеют более простую аналитическую структуру, чем ряды, предложенные недавно в связи с униформизацией амплитуд рассеяния с помощью автоморфных фухкций. Более того, эти параметризации имеют рациональные представления с помощью одной или двух алгебраических функций, соответственно, и обеспечивают более простой метод для численных экстраляций. Мы проводим полный анализ соответствующих компактных римановых поверхностей в терминах униформизиирующих функций, а также обсуждаем связь с методом ускоренных сходящихся разложений.