Kompakte Mengen

Zusammenfassung

Kompaktheit ist eine fundamentale metrische Eigenschaft, die weitreichende Aussagen über Mengen erlaubt. Dieses Kapitel behandelt die verschiedenen Kompaktheitsbegriffe sowie deren Konsequenzen, insbesondere die Sätze von Weierstraß und Arzelà–Ascoli.

Aufgaben

Aufgabe 2.1

Vereinigung kompakter Mengen

Zeigen Sie, dass die Vereinigung endlich vieler kompakter Mengen wieder kompakt ist. Geben Sie ein Beispiel an, dass das für unendlich viele Mengen nicht gelten muss.

Aufgabe 2.2

Abschluss totalbeschränkter Mengen

Zeigen Sie, dass der Abschluss einer totalbeschränkten Menge wieder totalbeschränkt ist.

Aufgabe 2.3

Diskrete kompakte Mengen

Zeigen Sie, dass ein diskreter metrischer Raum (X, d) kompakt ist genau dann, wenn X endlich ist.

Aufgabe 2.4

Kompakte Folgen

Sei (X, d) ein metrischer Raum und $\{x_n\}_{n\in \mathbb {N}}\subset X$ eine konvergente Folge mit Grenzwert $x\in X$. Zeigen Sie, dass $\{x_n\}_{n\in \mathbb {N}}\cup \{x\}$ kompakt ist.

Aufgabe 2.5

Nicht kompakte Mengen

Sei $C([0,\pi ])$ die Menge aller stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Intervall $[0,\pi ]$ versehen mit der Supremumsmetrik

$$ d(f, g) = \sup _{x \in [0,\pi ]} \left| f(x) - g(x)\right| \qquad \text {f}\ddot{\mathrm{{u}}}\text {r}\,\text {alle}\, f, g \in C([0,\pi ]). $$

Zeigen Sie, dass die abgeschlossene Einheitskugel

$$\begin{aligned} B_C := \{f \in C([0,\pi ]): d(f, 0) \le 1 \} \end{aligned}$$

nicht (folgen-)kompakt ist.