Zusammenfassung
In Kap. 1 haben wir stetige Transformationen auf kompakten metrischen Räumen untersucht, jedoch bereits in mehreren Beispielen invariante Wahrscheinlichkeitsmaße auf der Borel-σ-Algebra des kompakten Raumes gefunden. Damit lassen sich derartige Transformationen (und v. a. ihr asymptotisches Verhalten) auch mit maßtheoretischen Methoden beschreiben und untersuchen. In diesem Kapitel lassen wir die Topologie beiseite und betrachten Transformationen auf abstrakten Maßräumen. Die Untersuchung derartiger Transformationen ist Gegenstand der Ergodentheorie. Auf den historischen Ursprung des Namens „Ergodentheorie“ werden wir im Anschluss an die Definition 2.2.1 der Ergodizität eingehen.
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Notes
- 1.
Wir erinnern daran, dass zwei messbare Funktionen f, g auf X als äquivalent (genauer: als äquivalent (mod μ)) bezeichnet werden (in Symbolen: f = g (mod μ) oder f = g μ-f.ü.), wenn μ({x : f(x) ≠ g(x)}) = 0 ist.
- 2.
Eine Funktion \(\phi\colon J\longrightarrow\mathbb{R}\) ist konvex, wenn ϕ(t x + (1 − t) y) ≤ t ϕ(x) + (1 − t) ϕ(y) für 0 ≤ t ≤ 1 und x < y in J gilt.
- 3.
George David Birkhoff (1884–1944) war ein einflussreicher amerikanischer Mathematiker, der v. a. für seinen individuellen Ergodensatz bekannt ist.
- 4.
John von Neumann (1903–1957), geboren in Budapest, arbeitete ab 1930 in den USA. Seine Beiträge reichten von der Mathematik (z. B. Mengenlehre, Funktionalanalysis, Ergodentheorie, Geometrie, numerische Analysis), Physik (z. B. Quantenmechanik, Hydrodynamik, Strömungsdynamik), Ökonomie (Spieltheorie), Informatik (u. a. lineares Programmieren, Computerarchitektur, theoretische Computerwissenschaften) bis hin zur Statistik. Er gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker der jüngeren Geschichte.
- 5.
Eine Mengenfamilie \(\mathcal{M}\subset\mathcal{P(X)}\) ist eine monotone Klasse, wenn mit jeder monoton nicht abnehmenden Folge (A j ) in ℳ auch \(\bigcup _{{j\geq 1}}A_{j}\in\mathcal{M}\) ist und mit jeder monoton nicht zunehmenden Folge (A j ) auch \(\bigcap _{{j\geq 1}}A_{j}\in\mathcal{M}\) ist.
- 6.
Die Bedingung ϕ∘T = T′∘ϕ (mod μ) wird als Äquivarianz (mod μ) (oder einfach als Äquivarianz) von ϕ bezeichnet.
- 7.
Es gibt einen allgemeineren Isomorphiebegriff zwischen maßerhaltenden dynamischen Systemen \((X,\mathcal{S},\mu,T)\), \((X^{{\prime}},\mathcal{S}^{{\prime}},\mu^{{\prime}},T^{{\prime}})\), der nur die Existenz eines äquivarianten Isomorphismus der Maßalgebren \(\mathcal{S}_{\mu}\) und \(\mathcal{S}^{{\prime}}_{{\smash{\mu^{{\prime}}}}}\) voraussetzt. Wir werden auf diese Unterschiede nicht weiter eingehen, verweisen aber auf Aufgabe .
- 8.
Hermann Weyl (1885–1955) war ein deutscher Mathematiker und mathematischer Physiker, der lange Jahre in Zürich und Princeton arbeitete. Er leistete wichtige Beiträge zu vielen Gebieten der Mathematik und Physik, darunter Analysis, Algebra, Zahlentheorie, Topologie, Differentialgeometrie, Relativitätstheorie, Quantenmechanik und Grundlagen der Mechanik.
- 9.
Hillel Furstenberg, geboren 1935 in Berlin, Professor in Jerusalem. Viele der bedeutendsten Themen der Ergodentheorie und ihrer Verbindungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie, Kombinatorik und Zahlentheorie entwickelten sich aus seinen Ideen.
- 10.
Konrad Hermann Theodor Knopp (1882–1957) war ein deutscher Mathematiker, der auf dem Gebiet der Analysis, v. a. über Summierungs- und Limitierungsverfahren, arbeitete.
- 11.
Carl Friedrich Gauß (1777–1855) war ein deutscher Mathematiker, der fundamentale Beiträge zur Zahlentheorie, Statistik, Analysis, Differentialgeometrie, Geophysik, Astronomie, Optik und vielen anderen Gebieten leistete.
- 12.
Das heißt, Φ([A] ∪ [B]) = Φ(A) ∪ Φ(B), Φ([A] ∩ [B]) = Φ(A) ∩ Φ(B) und \(\Phi([A]\setminus[B])=\Phi([A])\setminus\Phi([B])\) für alle \(A,B\in\mathcal{S}^{{\prime}}\).
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© 2014 Springer Basel
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Einsiedler, M., Schmidt, K. (2014). Ergodentheorie. In: Dynamische Systeme. Mathematik Kompakt. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0634-3_2
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0634-3_2
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Publisher Name: Birkhäuser, Basel
Print ISBN: 978-3-0348-0633-6
Online ISBN: 978-3-0348-0634-3
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