Zusammenfassung
Die weiteren Methoden der darstellenden Geometrie sollen nun gemeinsam und von einem etwas höheren Standpunkt aus entwickelt werden. Es handelt sich im wesentlichen um die Zentralprojektion, Perspektive und allgemeine Axonometrie und um konstruktive Hilfsmittel wie die Kollineation und Affinität. Alle diese Verfahren bestehen aus geometrischen Abbildungen, welche lehren, von einem räumlichen Gegenstand oder einer ebenen Figur ein Bild in der Zeichenebene zu entwerfen. Gemeinsam ist ihnen, daß sie geradentreu sind, das heißt, daß eine gerade Linie des Gegenstands im Bild auch als Gerade erscheint.
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Referenzen
Ein-eindeutig heißt: Jedem Punkt P entspricht genau ein Bildpunkt P und umgekehrt jedem Bildpunkt P genau ein Originalpunkt P.
Projektiv heißt hier: Durch eine projektive Abbildung aufeinander bezogen.
Vier Punkte einer Ebene heißen «in allgemeiner Lage», wenn niemals drei unter ihnen auf einer Geraden liegen.
Der Satz gilt aber nur in der reellen Geometrie. Er ist zum Beispiel nicht mehr richtig, wenn man in a und ä die imaginären Punkte hinzunimmt und imaginäre Abbildungen von a auf öc zuläßt.
Vergleiche K. Schwidefsky, Einführung in die Luft- und Erdbildmessung. (Leipzig, Teubner, 2) Auflage 1939). R. Finsterwalder, Photogramme trie. (Berlin, De Gruyter 1939.)
Die Tatsache, daß die Konstruktion «sich schließt», das heißt, daß die drei Kanten des Koordinatenquaders, welche im Raum durch P̄ gehen, sich auch im Bild wieder in einem Punkt P̄ treffen ist eine einfache Folge des unten bewiesenen Hauptsatzes 20, kann aber auch direkt folgendermaßen nachgewiesen werden. P̄ werde zunächst als Schnittpunkt der beiden von P̄”, P̄“ ausgehenden Linien konstruiert. Die Anwendung des Satzes von Desargues auf die Dreiecke O P̄ y P̄ x und P̄ z P̄” P̄’“ ergibt, daß sich die Geraden P̄ x P̄ y und P̄” P̄’“ auf der Fluchtgejaden Ū x Ū y schneiden. Aus der Umkehrung des Desarguesschen Satzes für die beiden Dreiecke P̄’ P̄ y P̄ x und P̄P̄”P’“ folgt dann, daß P̄/ P̄ durch Ū z geht, was zu beweisen war. Die bei der Konstruktion der Fig. 85 b hauptsächlich verwendeten Linien bilden die drei von den Fluchtpunkten Ū x , Ū y , Ū z ausstrahlenden Geradenbüschel. Drei derartige Büschel nennt man ein Gewebe. Die erwähnte Schließungseigenschaft bildet den Ausgangspunkt für die moderne Theorie der Gewebe. K. Reidemeister hat diese Gewebe benutzt, um die Geometrie axiomatisch aufzubauen, so daß unsere Fig. 85 b von großem theoretischem Interesse ist. (K. Reidemeister, Grundlagen der Geometrie. Berlin, J. Springer 1930.)
Vgl. E. Stiefel, Zum Satz von Pohlke, Commentarii Math. Helv. 10, S. 208–225.
L. Eckhart, Affine Abbildung und Axonometrie, Sitzungsberichte der Akad. Wien, Klasse IA, 146, S. 51–56.
Die Länge der großen Halbachse ist das geometrische Mittel aus 0 R und dem in Fig. 93 angezeichneten Lot p. (Beweis am einfachsten mit Hilfe der Gleichung einer Ellipsentangente in der analytischen Geometrie.)
Infinitesimale Transformationen wurden zum erstenmal in der Geometrie von dem norwegischen Mathematiker S. Lie (1842–1899) in größerem Umfang benutzt.
Zum Beispiel: Baeschlin-Zeller, Lehrbuch der Stereophotogrammetrie. Zürich, Orell-Füßli, 1939. R. Finsterwalder, Photogrammetrie. Berlin, De Gruyter 1939.
E. Gotthardt, Der gefährliche Ort bei der photogrammetrischen Hauptaufgabe, Zeitschrift für Vermessungswesen 68, 1939, S. 297–304.
Publikationen von J. Krames und W. Wunderlich in den Monatsheften für Mathematik und Physik, Bd, 49 und 50.
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Stiefel, E. (1947). Projektive darstellende Geometrie. In: Lehrbuch der Darstellenden Geometrie. Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der Exakten Wissenschaften, vol 11 . Springer, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4173-3_4
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Publisher Name: Springer, Basel
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