Einleitung

Zusammenfassung

Im I. Teil wurden aus asymptotischen Entwicklungen einer Funktion vermittels der Laplace-Transformation bzw. vermittels der durch das komplexe Umkehrintegral dargestellten Transformation asymptotische Entwicklungen der zugeordneten Funktion abgeleitet. Die Sätze dieses Teils haben einen sehr allgemeinen und weitreichenden Charakter, was daran liegt, dass es zu den grundlegenden Eigenschaften der L-Transformation gehört, das asymptotische Verhalten einer Funktion an einer kritischen Stelle auf das asymptotische Verhalten der Bildfunktion an einer anderen kritischen Stelle abzubilden (Sätze Abelschen Typs). So wie die Übertragung asymptotischer Entwicklungen gehört auch die Übertragung von Entwicklungen, die im quadratischen Mittel in 0 ≦ t < ∞ konvergieren, in solche, die auf der imaginären Achse der s-Ebene im quadratischen Mittel konvergieren (siehe Satz 2 [I 12. 3]), zu den wesentlichen Abbildungseigenschaften der L-Transformation, denn sie resultiert aus der Tatsache, dass die L-Transformation zwischen dem Raum L ²(0, ∞) der Funktionen F(t) und dem Raum L ²(− ∞, + ∞) der Funktionen f(i y) eine isometrische Abbildung herstellt (siehe I, S.432). Hierunter fällt insbesondere die mittelkonvergente Entwicklung von F(t) nach Laguerreschen Orthogonalfunktionen, der die mittelkonvergente Entwicklung von f(i y) nach Potenzen von [i y − (1/2)]/[i y + (1/2)] entspricht (Satz 1 [I 8.3])⁸⁹.