Allgemeines über partielle Differentialgleichungen und ihre Integration vermittels Laplace-Transformation

Zusammenfassung

Ist für eine Funktion U(x, y,...) von mehreren Variablen eine partielle Differentialgleichung in einem Gebiet G des x y...-Raumes vorgelegt, so müssen zur Charakterisierung einer bestimmten Lösung auf der Berandung von (g die Werte der Funktion oder gewisser Ableitungen oder auch Kombinationen dieser Grössen gegeben sein. Diese gegebenen Werte heissen Randwerte und das durch die Differentialgleichung und die Randwerte bestimmte Problem ein Randwertproblem. Bei vielen aus der mathematischen Physik stammenden derartigen Problemen zerfallen die Variablen in zwei Gruppen: die räumlichen Variablen x, y, z und die zeitliche Variable t. Wenn der Variabilitätsbereich der x, y, z der ganze Raum ist, während der Vorgang von einem bestimmten Zeitpunkt t = 0 an, also für t≧0, beobachtet wird, so ist der einzige Rand des Gesamtraumes x y z t das Gebilde t = 0 (also z. B., wenn nur zwei räumliche Variable x, y vorkommen, die durch t = 0 charakterisierte x y-Ebene). In diesem Fall sind nur die Werte von U oder gewisser Ableitungen für t = 0, die sogenannten Anfangswerte, vorzugeben, und das Problem heisst dann ein (reines) Anfangswertproblem oder Cauchysches Problem.