Schwierige Fragen im Zusammenhang mit den komplexen Zahlen

Zusammenfassung

Viele Leser werden dieses Rapitel als das schwierigste des ganzen Buches empfinden. Nicht weil die behandelte Mathematik an sich komplizierter ist als in den anderen Kapiteln, sondern aufgrund des höheren Abstraktionsgrades, den das Thema mit sich bringt. Den Kernpunkt unserer Untersuchungen stellen Zahlen — genauer gesagt, die natürlichen und die komplexen Zahlen — dar. Die wesentliche Aufgabe der komplexen Funktionentheorie und des damit eng verwandten Zweigs der analytischen Zahlentheorie, die die Ergebnisse und Techniken der komplexen Funktionentheorie auf das Studium der natürlichen Zahlen anwendet, besteht in der Erforschung der tiefen Strukturen und Zusammenhänge, welche dem Begriff der komplexen Zahlen zugrunde liegen. Nach der Einführung in Kapitel 3 zu urteilen, scheinen diese Zahlen eher einfacher Natur zu sein, doch erfordert die Durchführung solcher Untersuchungen einige höchst abstrakte mathematische Methoden, die außerhalb der Mathematik nicht vielen Menschen geläufig sind. Leider können wir zur Verdeutlichung der Problematik auch nicht auf Bilder zurückgreifen, da das Thema im Gegensatz zu der in Kapitel 10 behandelten Topologie nicht sehr anschaulich ist. In der Topologie lassen sich ebenso schwierige und ungewohnte Gedanken mit Hilfe von Bildern und Diagrammen — zumindest in den einfacheren Fällen — sehr wohl vermitteln. Da es sich bei der komplexen Funktionentheorie jedoch um ein wichtiges Gebiet handelt, in dem in den letzten Jahren bedeutsame Fortschritte erzielt wurden, sollten wir sie nicht übergehen. Überdies werden Sie beim Lesen des Kapitels entdecken, daß sich aus den Abstraktionen einige bemerkenswerte Einsichten herauskristallisieren, die so vertraute Begriffe wie Brüche und Primzahlen betreffen. Allerdings wird vorausgesetzt, daß Sie die Einführung in die komplexen Zahlen in Kapitel 3 gelesen haben.