Das System Q

Zusammenfassung

Die Axiome des Systems $\mathrm{Q}$ sind

$\mathrm{Q}$ ist offenbar eine wahre L _N -Theorie (damit meinen wir, daß die Axiome von $\mathrm{Q}$ in $\mathfrak{N}$ gelten.) Die ersten zwei Axiome kann man auffassen als eine rekursive Definition der Addition, die nächsten beiden als eine rekursive Definition der Multiplikation und die letzten beiden als eine rekursive Definition der Kleiner-Relation. Man erhält zum Beispiel sofort:

Man nennt die Theorie, die aus den drei Axiomenschemata Q ${}^{*}$ 1, Q ${}^{*}$ 2, Q ${}^{*}$ 3 besteht, $\mathrm{Q}^{*}$, oder auch Cobhams Theorie. Wir fassen $\mathrm{Q}^{*}$ als Teiltheorie von $\mathrm{Q}$ auf.

Aus Q ${}^{*}$ 3 folgt sofort (durch Induktion über b):

Das läßt sich auch so ausdrücken: Sei $\mathfrak{M}$ ein Modell von $\mathrm{Q}^{*}$ und $\mathfrak{U}$ die Unterstruktur mit Universum $\{\Delta_{a}^{\mathfrak{M}}\mid a\in\mathbb{N}\}$. Dann ist $\mathfrak{U}\cong\mathfrak{N}$.