Zusammenfassung
Im Herbst des Jahres 1876 begann Tait ernsthaft damit, sich dem Problem der Knotenklassifikation zuzuwenden. Seine Bemühungen stehen im Zentrum dieses Kapitels. Zunächst wird kurz Taits Engagement für Thomsons Wirbelatomtheorie beschrieben, um deutlich zu machen, daß er sich Knoten vor allem aufgrund ihrer erhofften Bedeutung für die Natural Philosophy zuwandte (5.1). Es folgt eine detaillierte Analyse jener Serie von Beiträgen zu den Sitzungen der Royal Society of Edinburgh, in welchen Tait sich zum Ziel setzte, eine veritable Theorie der Knoten zu begründen. Diese Arbeiten entwickelten zwar Techniken, mit denen die Klassifikation der Knotenformen angegangen werden konnte, brachten die Klassifikation aber noch nicht soweit, daß eine Überprüfung ihrer Tauglichkeit für die Zwecke der Physik und Chemie möglich gewesen wäre (5.2). Erst durch die Mitarbeit des an kombinatorischen Problemen interessierten Pfarrers Thomas P. Kirkman und des Professors für Civil Engineering in Nebraska, Charles N. Little, entstanden Tafeln, die einen ausreichenden Vorrat verschiedener Knotenformen für eine mögliche Zuordnung zu den bekannten chemischen Elementen boten. Obwohl die Tafeln ihren ursprünglich intendierten Zweck nie erfüllten, bildete sich doch eine bescheidene Tradition der Knotentabulation aus, die bis ins frühe 20. Jahrhundert reichte. Noch im Jahr 1917 schrieb Mary G. Haseman am Bryn Mawr College eine Dissertation über Knoten, die sich der von Tait, Kirkman und Little entwickelten Techniken bediente (5.3).
The development of this subject promises absolutely endless work — but work of a very interesting and useful kind — because it is intimately connected with the theory of knots, which (especially as applied in Sir W. Thomson’s Theory of Vortex Atoms) is likely soon to become an important branch of mathematics.
Peter Guthrie Tait, 1876
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Literatur
Vgl. § 34.
Tait, Lectures on natural philosophy, Edinburgh University 1871–1872. Notes taken by I. Gray, Edinburgh University Library, Gen 1408, Bd. 1, S. 12.
Neben der Mitschrift von I. Gray (aus dem akademischen Jahr 1871–1872) zeigen Vorlesungsausarbeitungen der Kurse 1880–1881 von G. M. Barrie (National Library of Scotland, MS 6654), 1881–1882 von Andrew D. Sloan (University Library Edinburgh, Dc.5.98–99), sowie 1885–1886 von P. P. Easterbrook (University Library Edinburgh, Gen. 1821), daß Tait wiederholt einem ähnlichen Muster bei der Darstellung von Thomsons Theorie folgte.
Vgl. dazu auch (Wilson 1991).
Taits imperiales Engagement konnte weder seinen Zeitgenossen noch seinen Biographen und Historikern entgehen; er war während seiner Karriere mehrfach in diesbezügliche Kontroversen verwickelt. Am bekanntesten sind seine Polemiken um die Entwicklung der Thermodynamik, vgl. z.B. (Tait 1868/1877), und sein Kampf um die reine quaternionische Lehre in den 1890er-Jahren, dazu (Crowe 1985, Kap. 6). Seine pro-britische Rhetorik ist auch in einer vielgelesenen Adresse vor der British Association for the Advanvement of Science (BAAS) im Jahr 1871 sehr deutlich (Tait 1871).
(Tait 1876a, 292 ff.). Neben der Wirbelatomtheorie waren vor allem die Lehre von der Energie bzw. die Thermodynamik und die Spektroskopie Gegenstand der Taitschen Vorlesungen. Ein Verzeichnis der Hörer dieser Vorlesung findet sich in einem Zettelbuch Taits, das in Mikrofilmkopie an der Edinburgh University Library, Microfilm M 24, zugänglich ist.
Vgl. z.B. die Mitschrift des Zyklus von 1875–1876 von Elisabeth Haidane, National Library of Scotland, MS 20200. Die Zuhörerinnen waren meist Töchter oder Gattinen von Universitätsangehörigen oder doch akademisch gebildeten Bürgern. Auch Taits Tochter war für den Zyklus 1877–1878 eingeschrieben. Hörerinnenverzeichnisse finden sich in Taits Zettelbuch, Edinburgh University Library, Microfilm M 24.
Einen kurzen Überblick über Inhalt und Bedeutung des Werks gibt (Heimann 1972). (Myers 1985) verfolgt die charakteristische Verwendung sozialer Metaphern für natürliche Phänomene und naturwissenschaftlicher Metaphern für soziale Entwicklungen in The Unseen Universe und ähnlichen populären Schriften. Die politische Haltung der Autoren zeigt sich in der Tat deutlich an der Übernahme jener rhetorischen Figur, nach welcher nicht nur im natürlichen, sondern auch im moralischen Leben die Dissipation der Energie ein Faktum sei, nämlich als allgemeiner Verfall der Sitten. Besondere Schärfe ließen die Physiker Stewart und Tait erkennen, indem sie als Gegenmittel den strafenden Gebrauch der Elektrizität imaginierten: „For it can easily be applied so as to produce for the requisite time, and for that only, and under the direction of skilled physicists and physiologists, absolutely indescribable torture” (Stewart und Tait 1875, § 138). Die Folterer des 20. Jahrhunderts haben diese viktorianische Phantasie Wort für Wort wahrgemacht.
Das Vorwort zur zweiten Auflage (1875) schildert das Spektrum der verschiedenen Kritiken. Eine Auswahl von Reaktionen ist in Taits Zettelbuch (Edinburgh University Library, Microfilm M 24) gesammelt.
Edinburgh University Library, Df. 3. 87, Anmerkung zu § 134, Hervorhebung von Tait.
Vgl. (Tait 1876b); die historische Bemerkung findet sich in (Tait 1877b, 309 f.).
Vgl. § 28 und § 38.
National Library of Scotland, Acc 1000, No. 376.
Vgl. § 44.
Vgl. z.B. (de la Harpe, Kervaire und Weber 1986, § 9). Von Tait wurde sie zuerst in (Tait 1876c, 239) öffentlich formuliert und dann in (Tait 1877g, § 4) wiederholt.
Seit (Conway 1970) werden Taits Twists oft „flypes” genannt. Diesen Ausdruck benutzte Tait jedoch für eine andere Operation an Knotendiagrammen, die im folgenden Paragraphen erläutert wird.
Vgl. nochmals (de la Harpe, Kervaire und Weber 1986, § 9).
Siehe (Tait 1876c, 238) und (Tait 1877g, § 5).
Die Äquivalenz umfaßt einerseits zyklische Vertauschungen der Symbole, andererseits das Lesen des Schemas ab einem beliebigen Symbol in beliebige Richtung (zyklisch fortgesetzt). Tait diskutierte dies am ausführlichsten in seinem zusammenfassenden Artikel (Tait 1877g, § 5).
Wir wissen heute, daß diese vermutlich auch schon von Gauß geteilte Überzeugung für reduzierte, prime Knotenprojektionen korrekt ist; vgl. § 28 sowie (Chaves und Weber 1994).
Ich folge auch hier (Tait 1877g, § 7). Das Ergebnis findet sich aber bereits in (Tait 1876c, 241 f.)
Cayley vereinfachte Muirs Resultate durch das Studium der erzeugenden Funktion des Problems, u 3 + u 4 x + u 5 x 2 +…, vgl. (Cayley 1877a).
(Tait 1876c, 242 f.); vgl. die fast wörtliche Wiederholung in (Tait 1877g, §§ 25 f.).
Vgl. dazu § 95.
Bis heute ist kein effektives Verfahren bekannt, die Kreuzungszahl nichtalternierender Knoten zu bestimmen (Adams 1994, 69).
(Tait 1877a, 290 f.). Im 20. Jahrhundert sind mehrere Versuche gemacht worden, eine angemessene „Selbstverschlingungszahl” von Knoten zu definieren. Dabei wurden auch Taits Beobachtungen präzisiert; vgl. z.B. (Pohl 1968), (Fuller 1971,1978).
So übersetze ich Taits „beknottedness” und das heute im Englischen übliche „unknotting number”. Ein anderer Vorschlag ist „Gordische Zahl” (Wendt 1937).
(Tait 1877g, § 42). Bis heute ist das auch sonst niemand gelungen.
Vgl. Maxwell an Tait, 22. und 24. Januar 1877.
(Tait 1877b, 316 f.). Listing bemerkte auch, daß sein Symbol im Fall nichtalternierender Diagramme eine andere Gestalt annehme; er meinte damit vermutlich die in § 31 angegebene Form eines Polynoms mit zwei Variabein.
Zur historischen Einordnung von Crum Browns Notation vgl. (Russell 1971).
Folgende Beiträge sind hier einschlägig: (Cayley 1874, 1875, 1877b), (Sylvester 1878a,b) und (Clifford 1878). Eine Beschreibung dieser Arbeiten rindet sich in (Biggs, Lloyd und Wilson 1976, 60 ff.). — Eine wichtige Frage der graphischen Notation war natürlich, wie Crum Brown es später in einer Vorlesung ausdrückte, ob „the form of the formulae in any way resembles the form of the molecules these formulae represent.” (Mitschrift einer Vorlesung Crum Browns über Advanced Chemistry, Sommer 1884, von James Walker; Edinburgh University Library, Gen. 47 D, p. 8.). Aus Browns Vorlesung geht klar hervor, daß er von der räumlichen Signifikanz seiner Formeln überzeugt war. Freilich konnte eine ebene Formel kein metrisch korrektes Bild einer räumlichen Anordnung liefern. Es war Tait, der 1883 in einem Vortrag über „Listing’s Topologie”, auf den ich in § 49 zurückkomme, das entscheidende Stichwort gab: „Crum Brown’s chemical Graphic Formulae […], of course, do not pretend to represent the actual positions of the constituents of a compound molecule, but merely their relative connection” — im Sinn der neuen Wissenschaft der Topologie (Tait 1884a, 85). Die so geknüpfte Verbindung zwischen Crum Browns Formeln und der Topologie scheint diesen dazu bewegt zu haben, sich selbst für kurze Zeit näher mit diesem Gebiet auseinanderzusetzen; vgl. dazu Anm. 54 sowie (Epple 1998b, § 44).
(Tait 1877c, 327). Tait benützte hier allerdings nicht den Ausdruck „dual”, obwohl er ihn aus einem Beitrag Maxwells über graphische Statik, der 1870 in den Transactions der R.S.E. erschienen war, hätte kennen können.
Diese Methode ist explizit zuerst in (Tait 1877g, § 21) angegeben.
(Ebd.). Vgl. außerdem (Adams 1994, 178), der allerdings eine willkürliche Jahresangabe fur Taits Aussage macht.
Tait bat Maxwell um die Korrektur seines Aufsatzes, aber aus ihrer Korrespondenz geht nicht hervor, ob Maxwell Tait den Gefallen tat. Vgl. Tait an Maxwell, 13. und 30. Juni 1877; Maxwell an Tait, 13. Juli 1877.
Tait blieb allerdings an graphentheoretischen Fragen weiter interessiert. Als Alfred Bray Kempe im Jahr 1879 einen (später als lückenhaft erkannten) Beweis des Vierfarbensatzes veröffentlichte, nahm auch Tait das Thema auf und erhob Anspruch auf einen alternativen Beweis, der sich auf die Möglichkeit gründete, die Kanten jedes dreivalenten ebenen Graphen so zu färben, daß an jeder Ecke alle drei Farben aneinanderstießen (Tait 1880). Während der Vierfarbensatz in der Tat zu dieser Aussage äquivalent ist, waren Taits induktive Argumente für die Existenz einer solchen Färbung fehlerhaft; vgl. dazu (Biggs, Lloyd und Wilson 1976,94 ff.). Tait verknüpfte die Idee der Färbung eines ebenen Graphen allerdings nicht mit dem Knotenproblem, auch wenn dies aus heutiger Sicht naheliegend erscheint; vgl. z.B. (Livingston 1993/1995).
Am deutlichsten sprach dies Maxwell in seinem Treatise aus: „We are here led to considerations belonging to the Geometry of Position, a subject which, though its importance was pointed out by Leibnitz and illustrated by Gauss, has been little studied. The most complete treatment of this subject has been given by J. B. Listing.” (Maxwell 1873, § 18.) -Eine ausführlichere Diskussion der britischen Rezeption Listings habe ich in (Epple 1998b, §§ 45 u. 46) gegeben.
(Maxwell 1995,439); meine Hervorhebungen. — Dieser Text wurde im Herbst 1868 niedergeschrieben, als Maxwell Listings Texte vermutlich noch nicht kennengelernt hatte.
Taits Vorschlag wurde auf der Sitzung vom 3. Februar 1879 gemacht, und Listings Wahl fand am 3. März 1879 statt (Minutes of the R.S.E., National Library of Scotland, Acc. 10000, no. 7.)
(Tait 1884a, 85). Vgl. Anm. 38.
Letzteres behauptete jedenfalls (Tait 1885, 346).
Vgl. (Biggs, Lloyd und Wilson 1976,28 ff.) für weitere Informationen und einen Abdruck der relevanten Quellen; zu Hamilton außerdem (Hankins 1980).
Vgl. (Kirkman 1884, §§ 5, 6). Kirkman liebte Kontroversen: „Whatever be the decision of the reader, I am highly delighted, while attempting to write on a theme so dry and tiresome, that we have, at the outset, such a pretty little quarrel as it stands wherewith to allure his attention.” Taits Antwort findet sich in (Tait 1884c, § 3). Insbesondere behandelte Kirkman zunächst nichts, was in die Richtung der Twisting-Vermutung geführt hätte. Erst in seinem zweiten Beitrag gab er zu, daß es sinnvoll sein mochte, die „curious transformations and reductions by twisting of Listing and Tait” zu betrachten (Kirkman 1885a).
Wie sich gleich zeigen wird, umfaßte der Begriff „knot” hier auch Verkettungen. Vgl. für das folgende (Thistlethwaite 1985, 15 f.).
Tait an Maxwell, 30. Juni 1877; Maxwell an Tait, 13. Juli 1877. — Der Chemiker Crum Brown hielt im Dezember 1885 einen kurzen Vortrag vor der R.S.E., in welchem er die Beobachtung diskutierte, daß die in Fig. 5.16 gezeichnete Konfiguration als System der Randkurven dreier in den Raum eingebetteter, sich gegenseitig nicht schneidender Flächen aufgefaßt werden kann (Brown 1885).
Vgl. z.B. (Tait 1877g, § 35), (Tait 1884c, § 6).
Es handelt sich um die Nummern 1,9,13, 14,15,22, 26,27,28,29, 31, 35, 37 und 38 der im Anhang abgedruckten Tafeln.
Ein knapper Eintrag über Littles Karriere findet sich in Who was who in America, 3rd printing, Chicago: The A.N. Marquis Company, 1943, vol. 1:1897–1942. Zu den Göttinger Studienaufenthalten amerikanischer Mathematiker vgl. (Parshall und Rowe 1994, Kap. 5).
Vgl. insbesondere (Tait 1877g, § 4, § 13)
Diese Tafel wurde zum erstenmal von J. H. Conway im Jahr 1967 überprüft. Er fand eine Dublette und 11 Auslassungen (Conway 1970, 329).
(Little 1900, § 1.) In heutigen Darstellungen findet sich häufig die recht irreführende Behauptung, Little habe sechs Jahre gebraucht, um seine Tafeln zu vollenden; vgl. (Conway 1970, 329), auf den diese Bemerkung wohl zurückgeht.
Für den englischen Ausdruck „two-passes” vgl. z.B. (Thistlethwaite 1985,21).
Zur Rolle Scotts and Morleys im mathematischen Leben der Vereinigten Staaten vgl. (Parshall und Rowe 1994,241 ff. und 432 ff.).
(Haseman 1918, § 2.) Haseman bezeichnete Twists mit einem anderen auch von Tait benutzten Ausdruck „distortions”. Außerdem führte sie die Bezeichnung „tangle” für den mit vier offenen Enden versehenen Teil eines Knotendiagramms ein, der in einem Twist verändert wurde.
Auch das scheint bis heute eine offene Frage geblieben zu sein. (Perko 1974) zeigte, daß Taits Methoden jedenfalls bis zur Ordnung zehn ausreichen.
Diese Haltung äußerte Kirkman beispielsweise in einem Brief an Maxwell vom 8. November 1878, in welchem er den in Thomsons und Taits Treatise on Natural Philosophy beschriebenen Begriff der Masse heftig angriff (der Brief findet sich in der Cambridge University Library, Maxwell Papers, Add 7655/II, Nr. 167).
Während seiner Arbeit am Thema der Knoten versuchte Tait übrigens auch, Thomson auf dem Laufenden zu halten, auch wenn dieser selbst nie ein tieferes Interesse an Taits Projekt entwickelte. Beispielsweise schrieb Tait kurz nach der Absendung seines Beitrags über „Listing’s Topologie” an das Philosophical Magazine an Thomson: „I am going to smash Vortex-atoms at R.S.E. (Jany 7) so I bid you to hearken.” (Tait an Thomson, 20. Dezember 1883; Kelvin Papers Cambridge, T 33.) Dabei handelte es sich nicht um die endgültige Widerlegung der Thomsonschen Theorie, sondern um eine technische Idee über Knoten, die das Aufschneiden von Kreuzungen betraf (Tait hoffte vergeblich, so ein Berechnungsverfahren für die Ent-knotungszahl zu finden). Im November 1884 gab es ein kleines Hin und Her zwischen Tait und Thomson, der zunächst nicht sah, daß bei Knotenprojektionen mit sechs oder mehr Kreuzungen auch nichtalternieren-de Kreuzungsbelegungen betrachtet werden mußten (Tait an Thomson, 1. und 4, November 1884; Kelvin Papers Cambridge, T 36 und T 37).
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Epple, M. (1999). Ein Periodisches System der Knoten? Peter Guthrie Tait und die Ersten Knotentafeln. In: Die Entstehung der Knotentheorie. Vieweg+Teubner Verlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-80295-8_5
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