Zusammenfassung
Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der marktgerechten Bewertung pfadunabhängiger Optionen. Dabei werden zunächst nur Optionen betrachtet, die sich auf ein Underlying beziehen. Die marktgerechte Bewertung der Verträge auf mehrere Underlyings wird in Kapitel 4 behandelt.
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Literatur
Vgl. Rubinstein/Jackwerth (1997), S. 25.
Ein Überblick über konventionelle Nutzenfunktionen ist bei Ingersoll (1987) zu finden.
Vgl. beispielsweise Ait-Sahalia et al. (2000), Coutant (2000) und Jackwerth (2000).
Für eine detailliertere Herleitung der einzelnen Bedingungen zur Überprüfung von Arbitrageverletzungen vgl. Cox/Rubinstein (1985), S. 129 ff.
Synonym dazu verwendet man auch die Bezeichnungen Horizontal-Spread oder Time-Spread. Vgl. Steiner/Bruns (2002), S. 541 ff.
Vgl. Brunner/Hafner (2003), S. 14. Die Beweise der drei Aussagen sind in Anhang B.1 zu finden.
Vgl. Bliss/Panigirtzoglou (2002), S. 391. Das negative Optionsdelta von Put-Verträgen wird dabei meist mit —1 multipliziert, um eine insgesamt positive Gewichtung zu erhalten.
Übertragen auf die Approximation der jeweiligen impliziten Volatilitäten der Marktpreise von börsengehandelten Optionen, entspricht dieses Schema einer Gewichtung umgekehrt proportional zum Verhältnis aus Delta und Vega. Ein solcher Ansatz ist bei Hafner/Wallmeier (2001) zu finden.
Vgl. Bliss/Panigirtzoglou (2002), Weinberg (2001). Übertragen auf die Approximation der impliziten Volatilitätsfunktion, entspricht dies einer gleichmäßigen Gewichtung der impliziten Volatilitäten beobachtbarer Marktpreise.
Vgl. Bliss/Panigirtzoglou (2002), S. 412.
Vgl. Cooper (1999), S. 1, Miranda/Burgess (1998).
Vgl. beispielsweise Bahra (1996), Bahra (1997), Gemmill/Saflekos (2000), Jondeau/Rockinger (2000). Eine äquivalente Variante stellt die Modellierung des logarithmierten Underlyingkurses als eine Mischung von Normalverteilungen dar. Vgl. hierzu Söderlind/Svensson (1997) und Söderlind (2000).
Für eine ausführliche Berechnung vgl. Bahra (1997), S. 50 ff.
Vgl. beispielsweise Gemmill/Saflekos (2000), Cooper (1999) oder Jondeau/Rockinger (2000).
Vgl. auch die parallele Arbeit von Banz/Miller (1978).
Aus diesem Grund wird bei Breeden/Litzenberger (1978) auch die Bezeichnung Zustandspreisdichte anstelle von risikoneutraler Dichtefunktion verwendet.
Seine Untersuchung bezog sich auf Transaktionsdaten von Calls und Puts auf den SP 500 Future für den Zeitraum 1985 bis 1987. Vgl. Bates (1991), S. 1016.
Lediglich die Berücksichtigung der Nichtnegativität der RND ist mit etwas mehr Aufwand verbunden. Vgl. Ait-Sahalia/Lo (1998), S. 508.
Vgl. Rosenberg (2000), S. 51 f. Dies wird vor allem in der Black/Scholes-Modellwelt deutlich, da hier durch die Transformation von Optionspreisen in implizite Volatilitäten sogar eine lineare Funktion in Abhängigkeit vom Basispreis erzeugt wird.
Rubinstein (1994a) vermutet dahinter, dass Shimko (1993) die Probleme einschränken wollte, die durch einen nicht mehr synchronen Handelszeitpunkt von Option und Underlying entstehen. Vgl. Rubinstein (1994a), S. 782, Fußnote 13.
Beide Optionstypen beinhalten jeweils zwei out-of-the-money Optionen. Während der Strangle einer Long-Position eines Call und Put entspricht, beinhaltet ein Risk-Reversal eine Long-Position des Call und eine Short-Position des Put. Vgl. Steiner/Bruns (2002), S. 547 ff. und S. 555.
Ein Straddle stellt eine Kombination aus Call und Put mit ansonsten identischen Ausstattungsmerkmalen dar. Bei der at-the-money Version entsprechen die beiden Basispreise gerade dem Forwardpreis. Vgl. dazu Steiner/Bruns (2002), S. 547 f.
Vgl. Bliss/Panigirtzoglou (2002), S. 48. Die um diesen Strafparameter ergänzte kubische Spline-Funktion ist auch als so genannter Smoothing Spline bekannt.
Bliss/Panigirtzoglou (2002) verwenden für ihre Untersuchungen eine Gewichtung der einzelnen Beobachtungen in Höhe des entsprechenden Optionsvega der zugrunde liegenden Option. Damit werden die impliziten Volatilitäten der at-the-money Optionen stärker berücksichtigt, als solche von weniger liquiden Optionen im Randbereich. Vgl. dazu Bliss/Panigirtzoglou (2002), S. 391.
Vgl. hierzu Bliss/Panigirtzoglou (2002), Abbildung 7 auf S. 418.
In den Untersuchungen von Bliss/Panigirtzoglou (2002) wird die eben dargestellte Methode mit dem Ansatz einer Mischung zweier Lognormalverteilungen verglichen, der in Abschnitt 3.2.1.1 beschrieben wurde. Der Parameter A wird dabei stets so gewählt, dass beide Methoden dieselbe Anpassungsgüte besitzen. Auf das Problem einer optimalen Anpassung an die jeweilige Marktsituation gehen sie deswegen in ihrer Studie nicht weiter ein.
Dieses Verfahren basiert auf statistischen Überlegungen und minimiert durch Wahl eines geeigneten Parameters die mittlere quadratische Abweichung der Zielfunktion in (3.69) von den vorgegebenen Realisationen. Vgl. Craven/Wahba (1979) bzw. Wahba (1990).
Für eine genauere Beschreibung der durchgeführten Interpolation vgl. Abschnitt 3.4.2.1 bzw. Brunner/Hafner (2003), S. 18 ff.
Ein genauer Vergleich von parametrischen und nicht-parametrischen Ansätzen in Bezug auf Vor-und Nachteile ist bei Rapallo (1998), S. 19 ff., zu finden.
Darunter werden meist Methoden zusammengefasst, die auf einer Edgeworth-Expansion basieren. Vgl. beispielsweise Cont (1997). Auf diese zusätzliche Unterscheidung wird hier jedoch verzichtet.
Vgl. Cooper (1999), S. 3. In der Praxis wurde der Ansatz z. B. von der Bank of England eingesetzt. Er wurde jedoch später von der Methode von Bliss/Panigirtzoglou abgelöst. Vgl. Clews et al. (2000).
Vgl. Cooper (1999), Clews et al. (2000), Bliss/Panigirtzoglou (2002).
Dieses Problem lässt sich lediglich durch geschickte Variation der Initialisierungsparameter umgehen. Eine ständige Änderung der Parameter erschwert jedoch die effektive Darstellung einer dynamischen Entwicklung der RND. Vgl. Bliss/Panigirtzoglou (2002), S. 32 f.
Vgl. Bliss/Panigirtzoglou (2002) und Clews et al. (2000), insbesondere Abbildung 4.
Der hier dargestellte kurze Überblick über die Nachteile der einzelnen Varianten entspricht der Darstellung in Brunner/Hafner (2003).
s Für eine genaue Darstellung der einzelnen Vorteile vgl. auch Brunner/Hafner (2003).
Selbst Standardoptionen lassen sich durch ein Portfolio bestehend aus Digital-Optionen nachbilden. Allerdings sind für eine exakte Duplizierung unendlich viele Verträge notwendig. Vgl. Pechtl (1996), S. 235.
Dieses so genannte Pin-Risiko ist dadurch gekennzeichnet, dass das Delta an dieser Stelle mit abnehmender Restlaufzeit divergiert. Damit können bereits kleinste Veränderungen des Underlying gegen Laufzeitende überproportionale Veränderungen im Optionspreis hervorrufen. Vgl. Taleb (1997), S. 286 ff.
Die hier dargestellte Bewertungsformel lässt sich in dieser Situation auch mittels einer Duplizierungsstrategie ableiten. Diese entspricht mathematisch gesehen unter der stetigen Kursverlaufshypothese gerade der ersten partiellen Ableitung eines europäischen Call nach dem Basispreis und führt zum selben Ergebnis. Vgl. auch Taleb (1997), S. 280 f.
Als Synonyme werden auch die Bezeichnungen Contingent-Premium-Optionen, Cash-on-DeliveryOptionen oder Zero-Premium-Optionen verwendet. Vgl. Ong (1995), S. 22.
Nach wie vor ist unklar, ob die Volatilität in Handelstagen oder Kalendertagen zu messen ist. Vgl. Hull (2003), S. 251 f. Der Unterschied ist jedoch lediglich bei Optionen mit sehr kurzer Laufzeit relevant. Diese werden aber in der Arbeit nicht berücksichtigt.
Dieses Vorgehen, den Underlyingpreis implizit aus den beobachtbaren Futuregeschäften zu berechnen, wird auch in der Studie von Jackwerth/Rubinstein (1996) angewandt.
Für eine detaillierte Beschreibung dieser Methode vgl. Hafner/Wallmeier (2001), S. 5 ff., und Wallmeier (2003), S. 173 ff.
Für eine Motivation dieser Vorgehensweise, die impliziten Volatilitäten von marktgehandelten Optionen über einen Handelstag zu aggregieren, vgl. Hafner/Wallmeier (2001), S. 14.
Das gleiche Vorgehen wird auch bei Hafner/Wallmeier (2001), S. 9, bzw. Wallmeier (2003), S. 182, angewendet.
Eine solche Vorgehensweise wird auch als 4-Sigma-Regel oder getrimmte Regression bezeichnet. Vgl. Kmenta (1997), S. 265, Sachs (1972), S. 219.
Vgl. Kuwahara/Marsh (1994). Dabei wurde nachgewiesen, dass eine überwiegend negative Neigung der Volatilitätskurve zu einer negativen Skewness und umgekehrt eine mehr positive Neigung zu positiver Skewness führt. Letztere Situation ist in erster Linie bei Währungsoptionen zu beobachten. Vgl. hierzu Bahra (1996).
Vgl. Navatte/Villa (2000) und Jackwerth/Rubinstein (1996), die bei ihrer Untersuchung von Optionen auf den CAC 40 bzw. S and P 500 zu demselben Ergebnis gelangen. Ausführliche empirische Untersuchungen mit gleichen Resultaten wurden auch von Charles Corrado und Tie Su durchgeführt. Vgl. hierzu Corrado/Su (1996), Corrado/Su (1997a) und Corrado/Su (1997b).
Vgl. Navatte/Villa (2000), die umgekehrt auch zeigen, dass eine konkave Struktur der impliziten Volatilitätsfunktion zu einer geringeren Kurtosis führt als die Black/Scholes-Welt antizipiert.
Vgl. Das/Sundaram (1999), Kon (1984).
In der Arbeit von Shimko (1993) wird exemplarisch für einen beliebigen Handelstag ein R2-Wert von 75.20% erreicht. Das hier verwendete Regressionsmodell liefert dagegen für das Jahr 2000 einen durchschnittlichen korrigierten R2-Wert von 96.34%.
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Brunner, B. (2004). Pfadunabhängige Optionen. In: Marktgerechte Bewertung von Optionen. Deutscher Universitätsverlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-81724-2_3
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