Schätztheorie

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird eine allgemeine mathematische Schätztheorie entwickelt. Konkurrierende Schätzfunktionen (Statistiken) werden durch eine Risikofunktion bewertet, die mittels einer quadratischen Verlustfunktion definiert ist. Im Fall einer eindimensionalen Statistik T bildet Varϑ(T) das Gütekriterium, für höherdimensionale T werden wir (im Abschnitt 1) die Kovarianzmatrix

$$ Vv\left( T \right) = Ev\left( {\left( {T - Ev\left( T \right)} \right.} \right) \cdot \left( {T - Ev\left. {\left( T \right)} \right)^{\rm T} } \right) $$

oder (im Abschnitt 2) die Funktion

$$ R\left( v \right) = Ev\left( {\left( {T - Ev\left( T \right)} \right.} \right)^{\rm T} \cdot \left( {T - Ev\left. {\left( T \right)} \right)} \right) $$

als Risikofunktion verwenden. Im Sinne von II 4.3 suchen wir nach optimalen Schätzfunktionen. Zunächst wird das Erreichen einer unteren Schranke, die für die Kovarianzmatrix V_ϑ (T) von Schätzern aufgestellt wird, als eine Optimalitätseigenschaft ausgezeichnet (Effizienz). Dann verwenden wir suffiziente und vollständige Statistiken zur Charakterisierung von Optimalität innerhalb erwartungstreuer Schätzfunktionen.